线性代数示例

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}]$

解题步骤 1

求特征值。

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解题步骤 1.1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

解题步骤 1.2

大小为 $3$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $3 \times 3$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

解题步骤 1.3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{3}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.6

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.6.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.6.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.7

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.7.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.7.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.8

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.8.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.8.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 1.4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3

Simplify each element.

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解题步骤 1.4.3.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.5

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.5

Find the determinant.

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解题步骤 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} | + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 1.5.4

计算 $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) ((1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 1.5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 - λ) (- 1 - λ)$ 。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 1.5.4.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 1.5.4.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.2

将 $- λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.3

乘以 $- λ \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.3.2

将 $λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.2

将 $- λ$ 和 $λ$ 相加。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.3

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 1.5.4.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + λ^{2} - 2) + 0$

解题步骤 1.5.4.2.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (λ^{2} - 3) + 0$

解题步骤 1.5.5

化简行列式。

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解题步骤 1.5.5.1

合并 $0 + (- 1 - λ) (λ^{2} - 3) + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 1.5.5.1.1

将 $0$ 和 $(- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$ 相加。

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3) + 0$

解题步骤 1.5.5.1.2

将 $(- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$

解题步骤 1.5.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$ 。

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解题步骤 1.5.5.2.1

运用分配律。

$p (λ) = - 1 (λ^{2} - 3) - λ (λ^{2} - 3)$

解题步骤 1.5.5.2.2

运用分配律。

$p (λ) = - 1 λ^{2} - 1 \cdot - 3 - λ (λ^{2} - 3)$

解题步骤 1.5.5.2.3

运用分配律。

$p (λ) = - 1 λ^{2} - 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 3$

解题步骤 1.5.5.3

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.3.1

将 $- 1 λ^{2}$ 重写为 $- λ^{2}$ 。

$p (λ) = - λ^{2} - 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 3$

解题步骤 1.5.5.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 3$

解题步骤 1.5.5.3.3

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.5.3.3.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - (λ^{2} λ) - λ \cdot - 3$

解题步骤 1.5.5.3.3.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.5.3.3.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot - 3$

解题步骤 1.5.5.3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ^{2 + 1} - λ \cdot - 3$

解题步骤 1.5.5.3.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ^{3} - λ \cdot - 3$

解题步骤 1.5.5.3.4

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ^{3} + 3 λ$

解题步骤 1.5.5.4

移动 $3$ 。

$p (λ) = - λ^{2} - λ^{3} + 3 λ + 3$

解题步骤 1.5.5.5

将 $- λ^{2}$ 和 $- λ^{3}$ 重新排序。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 3 λ + 3$

解题步骤 1.6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$- λ^{3} - λ^{2} + 3 λ + 3 = 0$

解题步骤 1.7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.7.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.7.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(- λ^{3} - λ^{2}) + 3 λ + 3 = 0$

解题步骤 1.7.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$λ^{2} (- λ - 1) - 3 (- λ - 1) = 0$

解题步骤 1.7.1.2

通过因式分解出最大公因数 $- λ - 1$ 来因式分解多项式。

$(- λ - 1) (λ^{2} - 3) = 0$

解题步骤 1.7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$- λ - 1 = 0$

$λ^{2} - 3 = 0$

解题步骤 1.7.3

将 $- λ - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.3.1

将 $- λ - 1$ 设为等于 $0$ 。

$- λ - 1 = 0$

解题步骤 1.7.3.2

求解 $λ$ 的 $- λ - 1 = 0$ 。

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解题步骤 1.7.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$- λ = 1$

解题步骤 1.7.3.2.2

将 $- λ = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.7.3.2.2.1

将 $- λ = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 1.7.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.7.3.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{λ}{1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 1.7.3.2.2.2.2

用 $λ$ 除以 $1$ 。

$λ = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 1.7.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.7.3.2.2.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$λ = - 1$

解题步骤 1.7.4

将 $λ^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.4.1

将 $λ^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$λ^{2} - 3 = 0$

解题步骤 1.7.4.2

求解 $λ$ 的 $λ^{2} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 1.7.4.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$λ^{2} = 3$

解题步骤 1.7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 1.7.4.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.7.4.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$λ = \sqrt{3}$

解题步骤 1.7.4.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$λ = - \sqrt{3}$

解题步骤 1.7.4.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$λ = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 1.7.5

最终解为使 $(- λ - 1) (λ^{2} - 3) = 0$ 成立的所有值。

$λ = - 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

解题步骤 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

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解题步骤 3.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 1 + 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

Simplify each element.

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解题步骤 3.2.2.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.5

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.7

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.8

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.9

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

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解题步骤 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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解题步骤 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

解题步骤 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ z \\ z \end{array}]$

解题步骤 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

解题步骤 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \sqrt{3}$ .

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解题步骤 4.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] - \sqrt{3} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $- \sqrt{3}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.2

乘以 $- \sqrt{3} \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $\sqrt{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.3

乘以 $- \sqrt{3} \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $\sqrt{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.4

乘以 $- \sqrt{3} \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.4.2

将 $0$ 乘以 $\sqrt{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.6

乘以 $- \sqrt{3} \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.6.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.6.2

将 $0$ 乘以 $\sqrt{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.7

乘以 $- \sqrt{3} \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.7.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.7.2

将 $0$ 乘以 $\sqrt{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.8

乘以 $- \sqrt{3} \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.8.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.8.2

将 $0$ 乘以 $\sqrt{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{3} \end{array}]$

解题步骤 4.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.2.3.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.5

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

解题步骤 4.3

Find the null space when $λ = \sqrt{3}$ .

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解题步骤 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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解题步骤 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{1 - \sqrt{3}} & \frac{1}{1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{1 - \sqrt{3}} \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & - 1 - \sqrt{3} - 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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解题步骤 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{0}{- 1 - \sqrt{3}} & \frac{- 1 - \sqrt{3}}{- 1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 - \sqrt{3}} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.3.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.4.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

解题步骤 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} + \frac{z \sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ z \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

解题步骤 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - \sqrt{3}$ .

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解题步骤 5.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + \sqrt{3} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $\sqrt{3}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 5.2.1.2.1

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2.3

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2.4

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2.5

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2.6

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2.7

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2.8

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2.9

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} \end{array}]$

解题步骤 5.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

解题步骤 5.2.3

Simplify each element.

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解题步骤 5.2.3.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.5

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

解题步骤 5.3

Find the null space when $λ = - \sqrt{3}$ .

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解题步骤 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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解题步骤 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{1 + \sqrt{3}} & \frac{1}{1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{1 + \sqrt{3}} \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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解题步骤 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & - 1 + \sqrt{3} - 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2.2.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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解题步骤 5.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{0}{- 1 + \sqrt{3}} & \frac{- 1 + \sqrt{3}}{- 1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 + \sqrt{3}} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2.3.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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解题步骤 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2.4.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

解题步骤 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} - \frac{z \sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ z \end{array}]$

解题步骤 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

解题步骤 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

线性代数 示例

线性代数示例