线性代数示例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 4 & 0 & 1 3 & - 6 & 3 1 & 0 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程

$p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

解题步骤 2

大小为

$3$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的

$3 \times 3$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ 。

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解题步骤 3.1

代入

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}]$ 替换

$A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] - λ I_{3})$

解题步骤 3.2

代入

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换

$I_{3}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将

$- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.1.2.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.5

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.7.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.8.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.9

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.3.1

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

将

$3$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.4

将

$3$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 & 0 & - 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 5

Find the determinant.

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解题步骤 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.1.3

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.4

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.5

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.6

Multiply element

$a_{22}$ by its cofactor.

$(- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.7

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

解题步骤 5.1.8

Multiply element

$a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

解题步骤 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

解题步骤 5.2

将

$0$ 乘以

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

解题步骤 5.3

将

$0$ 乘以

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.4

计算

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) ((- 4 - λ) (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开

$(- 4 - λ) (- 4 - λ)$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 (- 4 - λ) - λ (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 \cdot - 4 - 4 (- λ) - λ (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 \cdot - 4 - 4 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1.1

将

$- 4$ 乘以

$- 4$ 。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 - 4 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.2

将

$- 1$ 乘以

$- 4$ 。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.3

将

$- 4$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.5

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1.5.1

移动

$λ$ 。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.5.2

将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.6

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.7

将

$λ^{2}$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.2

将

$4 λ$ 和

$4 λ$ 相加。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 8 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.3

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 8 λ + λ^{2} - 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.2

从

$16$ 中减去

$1$ 。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (8 λ + λ^{2} + 15) + 0$

解题步骤 5.4.2.3

将

$8 λ$ 和

$λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$

解题步骤 5.5

化简行列式。

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解题步骤 5.5.1

合并

$0 + (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 5.5.1.1

将

$0$ 和

$(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ 相加。

$p (λ) = (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$

解题步骤 5.5.1.2

将

$(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$

解题步骤 5.5.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开

$(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ 。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 6 (8 λ) - 6 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1

将

$8$ 乘以

$- 6$ 。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 6 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.2

将

$- 6$ 乘以

$15$ 。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.3

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.3.3.1

移动

$λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - (λ^{2} λ) - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.3.2

将

$λ^{2}$ 乘以

$λ$ 。

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解题步骤 5.5.3.3.2.1

对

$λ$ 进行

$1$ 次方运算。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.3.2.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{2 + 1} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.3.3

将

$2$ 和

$1$ 相加。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 λ \cdot λ - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.5

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

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解题步骤 5.5.3.5.1

移动

$λ$ 。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.5.2

将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.6

将

$- 1$ 乘以

$8$ 。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

解题步骤 5.5.3.7

将

$15$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 8 λ^{2} - 15 λ$

解题步骤 5.5.4

从

$- 6 λ^{2}$ 中减去

$8 λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 15 λ$

解题步骤 5.5.5

从

$- 48 λ$ 中减去

$15 λ$ 。

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 - λ^{3}$

解题步骤 5.5.6

移动

$- 90$ 。

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 63 λ - λ^{3} - 90$

解题步骤 5.5.7

移动

$- 63 λ$ 。

$p (λ) = - 14 λ^{2} - λ^{3} - 63 λ - 90$

解题步骤 5.5.8

将

$- 14 λ^{2}$ 和

$- λ^{3}$ 重新排序。

$p (λ) = - λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90$

解题步骤 6

使特征多项式等于

$0$ ，以求特征值

$λ$ 。

$- λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 = 0$

解题步骤 7

求解

$λ$ 。

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解题步骤 7.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 7.1.1

从

$- λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90$ 中分解出因数

$- 1$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

从

$- λ^{3}$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$- (λ^{3}) - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 = 0$

解题步骤 7.1.1.2

从

$- 14 λ^{2}$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - 63 λ - 90 = 0$

解题步骤 7.1.1.3

从

$- 63 λ$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - (63 λ) - 90 = 0$

解题步骤 7.1.1.4

将

$- 90$ 重写为

$- 1 (90)$ 。

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - (63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

解题步骤 7.1.1.5

从

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2})$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$- (λ^{3} + 14 λ^{2}) - (63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

解题步骤 7.1.1.6

从

$- (λ^{3} + 14 λ^{2}) - (63 λ)$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

解题步骤 7.1.1.7

从

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ) - 1 (90)$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90) = 0$

解题步骤 7.1.2

使用有理根检验法因式分解

$λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为

$\frac{p}{q}$ 的形式，其中

$p$ 为常数的因数，而

$q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

$q = \pm 1$

解题步骤 7.1.2.2

求

$\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

解题步骤 7.1.2.3

代入

$- 3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于

$0$ ，所以

$- 3$ 是多项式的根。

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解题步骤 7.1.2.3.1

将

$- 3$ 代入多项式。

${(- 3)}^{3} + 14 {(- 3)}^{2} + 63 \cdot - 3 + 90$

解题步骤 7.1.2.3.2

对

$- 3$ 进行

$3$ 次方运算。

$- 27 + 14 {(- 3)}^{2} + 63 \cdot - 3 + 90$

解题步骤 7.1.2.3.3

对

$- 3$ 进行

$2$ 次方运算。

$- 27 + 14 \cdot 9 + 63 \cdot - 3 + 90$

解题步骤 7.1.2.3.4

将

$14$ 乘以

$9$ 。

$- 27 + 126 + 63 \cdot - 3 + 90$

解题步骤 7.1.2.3.5

将

$- 27$ 和

$126$ 相加。

$99 + 63 \cdot - 3 + 90$

解题步骤 7.1.2.3.6

将

$63$ 乘以

$- 3$ 。

$99 - 189 + 90$

解题步骤 7.1.2.3.7

从

$99$ 中减去

$189$ 。

$- 90 + 90$

解题步骤 7.1.2.3.8

将

$- 90$ 和

$90$ 相加。

$0$

解题步骤 7.1.2.4

因为

$- 3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以

$λ + 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90}{λ + 3}$

解题步骤 7.1.2.5

用

$λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ 除以

$λ + 3$ 。

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解题步骤 7.1.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带

$0$ 值的项。

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$63 λ$

$90$

解题步骤 7.1.2.5.2

将被除数中的最高阶项

$λ^{3}$ 除以除数中的最高阶项

$λ$ 。

					$λ^{2}$
	$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$

解题步骤 7.1.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

解题步骤 7.1.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$λ^{3} + 3 λ^{2}$ 中的所有符号

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

解题步骤 7.1.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

解题步骤 7.1.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$

解题步骤 7.1.2.5.7

将被除数中的最高阶项

$11 λ^{2}$ 除以除数中的最高阶项

$λ$ 。

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$

解题步骤 7.1.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					+	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

解题步骤 7.1.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$11 λ^{2} + 33 λ$ 中的所有符号

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

解题步骤 7.1.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$

解题步骤 7.1.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$

解题步骤 7.1.2.5.12

将被除数中的最高阶项

$30 λ$ 除以除数中的最高阶项

$λ$ 。

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$

解题步骤 7.1.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							+	$30 λ$	+	$90$

解题步骤 7.1.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$30 λ + 90$ 中的所有符号

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							-	$30 λ$	-	$90$

解题步骤 7.1.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							-	$30 λ$	-	$90$
										$0$

解题步骤 7.1.2.5.16

因为余数为

$0$ ，所以最终答案是商。

$λ^{2} + 11 λ + 30$

解题步骤 7.1.2.6

将

$λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ 书写为因数的集合。

$- ((λ + 3) (λ^{2} + 11 λ + 30)) = 0$

解题步骤 7.1.3

因数。

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解题步骤 7.1.3.1

使用 AC 法来对

$λ^{2} + 11 λ + 30$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.1.3.1.1

使用 AC 法来对

$λ^{2} + 11 λ + 30$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.1.3.1.1.1

思考一下

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

$c$ ，且和为

$b$ 。在本例中，其积即为

$30$ ，和为

$11$ 。

$5, 6$

解题步骤 7.1.3.1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((λ + 3) ((λ + 5) (λ + 6))) = 0$

解题步骤 7.1.3.1.2

去掉多余的括号。

$- ((λ + 3) (λ + 5) (λ + 6)) = 0$

解题步骤 7.1.3.2

去掉多余的括号。

$- (λ + 3) (λ + 5) (λ + 6) = 0$

解题步骤 7.2

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$λ + 3 = 0$

$λ + 5 = 0$

$λ + 6 = 0$

解题步骤 7.3

将

$λ + 3$ 设为等于

$0$ 并求解

$λ$ 。

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解题步骤 7.3.1

将

$λ + 3$ 设为等于

$0$ 。

$λ + 3 = 0$

解题步骤 7.3.2

从等式两边同时减去

$3$ 。

$λ = - 3$

解题步骤 7.4

将

$λ + 5$ 设为等于

$0$ 并求解

$λ$ 。

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解题步骤 7.4.1

将

$λ + 5$ 设为等于

$0$ 。

$λ + 5 = 0$

解题步骤 7.4.2

从等式两边同时减去

$5$ 。

$λ = - 5$

解题步骤 7.5

将

$λ + 6$ 设为等于

$0$ 并求解

$λ$ 。

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解题步骤 7.5.1

将

$λ + 6$ 设为等于

$0$ 。

$λ + 6 = 0$

解题步骤 7.5.2

从等式两边同时减去

$6$ 。

$λ = - 6$

解题步骤 7.6

最终解为使

$- (λ + 3) (λ + 5) (λ + 6) = 0$ 成立的所有值。

$λ = - 3, - 5, - 6$

线性代数 示例

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