线性代数示例

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & a \\ 3 & - a & 1 \\ 1 & - 2 & 3 \end{array}]$

解题步骤 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - a & 1 \\ - 2 & 3 \end{array} |$

解题步骤 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - a & 1 \\ - 2 & 3 \end{array} |$

解题步骤 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} - a & 1 \\ - 2 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} | + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - a & 1 \\ - 2 & 3 \end{array} |$ 。

$0 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} | + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 3

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$0 + 1 (3 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 3.2

化简行列式。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$0 + 1 (9 - 1 \cdot 1) + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 + 1 (9 - 1) + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 3.2.2

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$0 + 1 \cdot 8 + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$0 + 1 \cdot 8 + a (3 \cdot - 2 - - a)$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$0 + 1 \cdot 8 + a (- 6 - - a)$

解题步骤 4.2.2

乘以 $- - a$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 \cdot 8 + a (- 6 + 1 a)$

解题步骤 4.2.2.2

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$0 + 1 \cdot 8 + a (- 6 + a)$

解题步骤 5

化简行列式。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 和 $1 \cdot 8$ 相加。

$1 \cdot 8 + a (- 6 + a)$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8 + a (- 6 + a)$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$8 + a \cdot - 6 + a \cdot a$

解题步骤 5.2.3

将 $- 6$ 移到 $a$ 的左侧。

$8 - 6 \cdot a + a \cdot a$

解题步骤 5.2.4

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$8 - 6 a + a^{2}$

线性代数 示例

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