线性代数示例

$20 - 21 i$

解题步骤 1

使用公式 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 计算从 $(a, b)$ 到原点的距离。

$r = \sqrt{20^{2} + {(- 21)}^{2}}$

解题步骤 2

化简 $\sqrt{20^{2} + {(- 21)}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

对 $20$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{400 + {(- 21)}^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $- 21$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{400 + 441}$

解题步骤 2.3

将 $400$ 和 $441$ 相加。

$r = \sqrt{841}$

解题步骤 2.4

将 $841$ 重写为 $29^{2}$ 。

$r = \sqrt{29^{2}}$

解题步骤 2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$r = 29$

解题步骤 3

计算参考角 $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ 。

$θ̂ = \arctan (| \frac{- 21}{20} |)$

解题步骤 4

化简 $\arctan (| \frac{- 21}{20} |)$ 。

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解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$θ̂ = \arctan (| - \frac{21}{20} |)$

解题步骤 4.2

$- \frac{21}{20}$ 约为 $- 1.05$ ，因其为负数，所以对 $- \frac{21}{20}$ 取反并去掉绝对值

$θ̂ = \arctan (\frac{21}{20})$

解题步骤 4.3

计算 $\arctan (\frac{21}{20})$ 。

$θ̂ = 0.80978357$

解题步骤 5

因为 $x$ 是正数而 $y$ 是负数，所以该点位于第四象限。各象限从右上角开始按逆时针方向进行标记。

象限 $4$

解题步骤 6

$(a, b)$ 位于第四象限。 $θ = - θ̂$

$θ = - 0.80978357$

解题步骤 7

使用公式求复数的根。

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

解题步骤 8

将 $r$ 、 $n$ 和 $θ$ 代入公式。

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解题步骤 8.1

组合 ${(29)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{(- 0.80978357) + 2 π k}{2}$ 。

$c i s \frac{{(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k)}{2}$

解题步骤 8.2

组合 $c$ 和 $\frac{{(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k)}{2}$ 。

$i s \frac{c ({(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k))}{2}$

解题步骤 8.3

组合 $i$ 和 $\frac{c ({(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k))}{2}$ 。

$s \frac{i (c ({(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k)))}{2}$

解题步骤 8.4

组合 $s$ 和 $\frac{i (c ({(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k)))}{2}$ 。

$\frac{s (i (c ({(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k))))}{2}$

解题步骤 8.5

去掉圆括号。

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解题步骤 8.5.1

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c (29^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k))))}{2}$

解题步骤 8.5.2

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c (29^{\frac{1}{2}} (- 0.80978357 + 2 π k))))}{2}$

解题步骤 8.5.3

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c \cdot 29^{\frac{1}{2}} (- 0.80978357 + 2 π k)))}{2}$

解题步骤 8.5.4

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c \cdot 29^{\frac{1}{2}}) (- 0.80978357 + 2 π k))}{2}$

解题步骤 8.5.5

去掉圆括号。

$\frac{s (i c \cdot 29^{\frac{1}{2}} (- 0.80978357 + 2 π k))}{2}$

解题步骤 8.5.6

去掉圆括号。

$\frac{s (i c \cdot 29^{\frac{1}{2}}) (- 0.80978357 + 2 π k)}{2}$

解题步骤 8.5.7

去掉圆括号。

$\frac{s (i c) \cdot 29^{\frac{1}{2}} (- 0.80978357 + 2 π k)}{2}$

解题步骤 8.5.8

去掉圆括号。

$\frac{s i c \cdot 29^{\frac{1}{2}} (- 0.80978357 + 2 π k)}{2}$

解题步骤 9

将 $k = 0$ 代入公式并化简。

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解题步骤 9.1

去掉圆括号。

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(- 0.80978357) + 2 π (0)}{2})$

解题步骤 9.2

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{- 0.80978357 + 0 π}{2})$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{- 0.80978357 + 0}{2})$

解题步骤 9.3

将 $- 0.80978357$ 和 $0$ 相加。

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{- 0.80978357}{2})$

解题步骤 9.4

用 $- 0.80978357$ 除以 $2$ 。

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot - 0.40489178$

解题步骤 9.5

将 $29^{\frac{1}{2}} c i s$ 乘以 $- 0.40489178$ 。

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (- 0.40489178)$

解题步骤 10

将 $k = 1$ 代入公式并化简。

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解题步骤 10.1

去掉圆括号。

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(- 0.80978357) + 2 π (1)}{2})$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{- 0.80978357 + 2 π}{2})$

解题步骤 10.3

将 $- 0.80978357$ 和 $2 π$ 相加。

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{5.47340173}{2})$

解题步骤 10.4

用 $5.47340173$ 除以 $2$ 。

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 2.73670086$

解题步骤 10.5

将 $29^{\frac{1}{2}} c i s$ 乘以 $2.73670086$ 。

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (2.73670086)$

解题步骤 11

列出解。

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (- 0.40489178)$

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (2.73670086)$

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