线性代数示例

2 x + 3 y - z = 2

$2 x + 3 y - z = 2$

3 x + 5 y + z = 5

$3 x + 5 y + z = 5$

解题步骤 1

把方程组写成矩阵。

[\begin{matrix} 2 & 3 & - 1 & 2 3 & 5 & 1 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

解题步骤 2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 2.1.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

[\begin{matrix} \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{2}{2} 3 & 5 & 1 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{2}{2} \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

解题步骤 2.1.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

[\begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 3 & 5 & 1 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 3 & 5 & 1 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

解题步骤 2.2

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使

$2, 1$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.2.1

执行行操作

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使

$2, 1$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) & 1 - 3 (- \frac{1}{2}) & 5 - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 2.2.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \end{array}]$

解题步骤 2.3

将

$R_{2}$ 的每个元素乘以

$2$ ，使

$2, 2$ 的项为

$1$ 。

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解题步骤 2.3.1

将

$R_{2}$ 的每个元素乘以

$2$ ，使

$2, 2$ 的项为

$1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (\frac{5}{2}) & 2 \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 2.3.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

解题步骤 2.4

执行行操作

$R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ 使

$1, 2$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.4.1

执行行操作

$R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ 使

$1, 2$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \cdot 5 & 1 - \frac{3}{2} \cdot 4 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

解题步骤 2.4.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 8 & - 5 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

解题步骤 3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x - 8 z = - 5$

$y + 5 z = 4$

解题步骤 4

解为使方程组成立的有序对集合。

$(- 5 + 8 z, 4 - 5 z, z)$

线性代数 示例

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