线性代数示例

$x - 2 y - z = 2$ $2 x + y - 3 z = 4$ $- 2 x + 4 y + 2 z = 6$

解题步骤 1

把方程组写成矩阵。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 2 & 1 & - 3 & 4 \\ - 2 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

解题步骤 2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.1.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 2 & - 3 - 2 \cdot - 1 & 4 - 2 \cdot 2 \\ - 2 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

解题步骤 2.1.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 & 0 \\ - 2 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

解题步骤 2.2

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.2.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 4 + 2 \cdot - 2 & 2 + 2 \cdot - 1 & 6 + 2 \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 2.2.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}]$

解题步骤 2.3

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{5}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{5}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 1}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}]$

解题步骤 2.3.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}]$

解题步骤 2.4

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{10}$ ，使 $3, 4$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{10}$ ，使 $3, 4$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ \frac{0}{10} & \frac{0}{10} & \frac{0}{10} & \frac{10}{10} \end{array}]$

解题步骤 2.4.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.5

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ 使 $1, 4$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.5.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ 使 $1, 4$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & - 2 - 2 \cdot 0 & - 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.5.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.6

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.6.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 1 + 2 (- \frac{1}{5}) & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.6.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x - \frac{7}{5} z = 0$

$y - \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 1$

解题步骤 4

方程组不一致，因此没有解。

$无解$

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