线性代数示例

3 x - 2 y - z = 4

$3 x - 2 y - z = 4$

x - y - 2 z = 0

$x - y - 2 z = 0$

4 x + 3 y + z = 2

$4 x + 3 y + z = 2$

解题步骤 1

把方程组写成矩阵。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & - 2 & - 1 & 4 1 & - 1 & - 2 & 0 4 & 3 & 1 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & - 1 & 4 \\ 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 2.1.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3}{3} & \frac{- 2}{3} & \frac{- 1}{3} & \frac{4}{3} 1 & - 1 & - 2 & 0 4 & 3 & 1 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 2}{3} & \frac{- 1}{3} & \frac{4}{3} \\ 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 2.1.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} 1 & - 1 & - 2 & 0 4 & 3 & 1 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} 1 & - 1 & - 2 & 0 4 & 3 & 1 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 2.2

执行行操作

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 2.2.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} 1 - 1 & - 1 + \frac{2}{3} & - 2 + \frac{1}{3} & 0 - \frac{4}{3} 4 & 3 & 1 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 1 - 1 & - 1 + \frac{2}{3} & - 2 + \frac{1}{3} & 0 - \frac{4}{3} \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 2.2.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} 4 & 3 & 1 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} 4 & 3 & 1 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 2.3

执行行操作

R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ 使

3, 1

$3, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 2.3.1

执行行操作

R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ 使

3, 1

$3, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} 4 - 4 \cdot 1 & 3 - 4 (- \frac{2}{3}) & 1 - 4 (- \frac{1}{3}) & 2 - 4 (\frac{4}{3}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} \\ 4 - 4 \cdot 1 & 3 - 4 (- \frac{2}{3}) & 1 - 4 (- \frac{1}{3}) & 2 - 4 (\frac{4}{3}) \end{array}]$

解题步骤 2.3.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} 0 & \frac{17}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{10}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} \\ 0 & \frac{17}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{10}{3} \end{array}]$

解题步骤 2.4

将

$R_{2}$ 的每个元素乘以

$- 3$ ，使

$2, 2$ 的项为

$1$ 。

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解题步骤 2.4.1

将

$R_{2}$ 的每个元素乘以

$- 3$ ，使

$2, 2$ 的项为

$1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ - 3 \cdot 0 & - 3 (- \frac{1}{3}) & - 3 (- \frac{5}{3}) & - 3 (- \frac{4}{3}) \\ 0 & \frac{17}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{10}{3} \end{array}]$

解题步骤 2.4.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 5 & 4 \\ 0 & \frac{17}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{10}{3} \end{array}]$

解题步骤 2.5

执行行操作

$R_{3} = R_{3} - \frac{17}{3} R_{2}$ 使

$3, 2$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.5.1

执行行操作

$R_{3} = R_{3} - \frac{17}{3} R_{2}$ 使

$3, 2$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 5 & 4 \\ 0 - \frac{17}{3} \cdot 0 & \frac{17}{3} - \frac{17}{3} \cdot 1 & \frac{7}{3} - \frac{17}{3} \cdot 5 & - \frac{10}{3} - \frac{17}{3} \cdot 4 \end{array}]$

解题步骤 2.5.2

化简

$R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & - 26 & - 26 \end{array}]$

解题步骤 2.6

将

$R_{3}$ 的每个元素乘以

$- \frac{1}{26}$ ，使

$3, 3$ 的项为

$1$ 。

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解题步骤 2.6.1

将

$R_{3}$ 的每个元素乘以

$- \frac{1}{26}$ ，使

$3, 3$ 的项为

$1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 5 & 4 \\ - \frac{1}{26} \cdot 0 & - \frac{1}{26} \cdot 0 & - \frac{1}{26} \cdot - 26 & - \frac{1}{26} \cdot - 26 \end{array}]$

解题步骤 2.6.2

化简

$R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.7

执行行操作

$R_{2} = R_{2} - 5 R_{3}$ 使

$2, 3$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.7.1

执行行操作

$R_{2} = R_{2} - 5 R_{3}$ 使

$2, 3$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 - 5 \cdot 0 & 1 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & 4 - 5 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.7.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.8

执行行操作

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ 使

$1, 3$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.8.1

执行行操作

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ 使

$1, 3$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.8.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 & \frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.9

执行行操作

$R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ 使

$1, 2$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.9.1

执行行操作

$R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ 使

$1, 2$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.9.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x = 1$

$y = - 1$

$z = 1$

解题步骤 4

解为使方程组成立的有序对集合。

$(1, - 1, 1)$

线性代数 示例

线性代数示例