线性代数示例

$x + y - 2 z + 4 t = 5$ $2 x + 2 y - 3 z + t = 3$ $3 x + 3 y - 4 z - 2 t = 1$

解题步骤 1

将变量移到左边，将常量移到右边。

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解题步骤 1.1

移动 $- 2 z$ 。

$x + y + 4 t - 2 z = 5$

$2 x + 2 y - 3 z + t = 3$

$3 x + 3 y - 4 z - 2 t = 1$

解题步骤 1.2

移动 $y$ 。

$x + 4 t + y - 2 z = 5$

$2 x + 2 y - 3 z + t = 3$

$3 x + 3 y - 4 z - 2 t = 1$

解题步骤 1.3

将 $x$ 和 $4 t$ 重新排序。

$4 t + x + y - 2 z = 5$

$2 x + 2 y - 3 z + t = 3$

$3 x + 3 y - 4 z - 2 t = 1$

解题步骤 1.4

移动 $- 3 z$ 。

$4 t + x + y - 2 z = 5$

$2 x + 2 y + t - 3 z = 3$

$3 x + 3 y - 4 z - 2 t = 1$

解题步骤 1.5

移动 $2 y$ 。

$4 t + x + y - 2 z = 5$

$2 x + t + 2 y - 3 z = 3$

$3 x + 3 y - 4 z - 2 t = 1$

解题步骤 1.6

将 $2 x$ 和 $t$ 重新排序。

$4 t + x + y - 2 z = 5$

$t + 2 x + 2 y - 3 z = 3$

$3 x + 3 y - 4 z - 2 t = 1$

解题步骤 1.7

移动 $- 4 z$ 。

$4 t + x + y - 2 z = 5$

$t + 2 x + 2 y - 3 z = 3$

$3 x + 3 y - 2 t - 4 z = 1$

解题步骤 1.8

移动 $3 y$ 。

$4 t + x + y - 2 z = 5$

$t + 2 x + 2 y - 3 z = 3$

$3 x - 2 t + 3 y - 4 z = 1$

解题步骤 1.9

将 $3 x$ 和 $- 2 t$ 重新排序。

$4 t + x + y - 2 z = 5$

$t + 2 x + 2 y - 3 z = 3$

$- 2 t + 3 x + 3 y - 4 z = 1$

$4 t + x + y - 2 z = 5$

$t + 2 x + 2 y - 3 z = 3$

$- 2 t + 3 x + 3 y - 4 z = 1$

解题步骤 2

把方程组写成矩阵。

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 1 & - 2 & 5 \\ 1 & 2 & 2 & - 3 & 3 \\ - 2 & 3 & 3 & - 4 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{4}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{4}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{- 2}{4} & \frac{5}{4} \\ 1 & 2 & 2 & - 3 & 3 \\ - 2 & 3 & 3 & - 4 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ 1 & 2 & 2 & - 3 & 3 \\ - 2 & 3 & 3 & - 4 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ 1 - 1 & 2 - \frac{1}{4} & 2 - \frac{1}{4} & - 3 + \frac{1}{2} & 3 - \frac{5}{4} \\ - 2 & 3 & 3 & - 4 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ 0 & \frac{7}{4} & \frac{7}{4} & - \frac{5}{2} & \frac{7}{4} \\ - 2 & 3 & 3 & - 4 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.3.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ 0 & \frac{7}{4} & \frac{7}{4} & - \frac{5}{2} & \frac{7}{4} \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 3 + 2 (\frac{1}{4}) & 3 + 2 (\frac{1}{4}) & - 4 + 2 (- \frac{1}{2}) & 1 + 2 (\frac{5}{4}) \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ 0 & \frac{7}{4} & \frac{7}{4} & - \frac{5}{2} & \frac{7}{4} \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & - 5 & \frac{7}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.4

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{4}{7}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{4}{7}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ \frac{4}{7} \cdot 0 & \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{4} & \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{4} & \frac{4}{7} (- \frac{5}{2}) & \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{4} \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & - 5 & \frac{7}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.4.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{10}{7} & 1 \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & - 5 & \frac{7}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.5

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - \frac{7}{2} R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.5.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - \frac{7}{2} R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{10}{7} & 1 \\ 0 - \frac{7}{2} \cdot 0 & \frac{7}{2} - \frac{7}{2} \cdot 1 & \frac{7}{2} - \frac{7}{2} \cdot 1 & - 5 - \frac{7}{2} (- \frac{10}{7}) & \frac{7}{2} - \frac{7}{2} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{10}{7} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.6

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.6.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} (- \frac{10}{7}) & \frac{5}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{10}{7} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.6.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{1}{7} & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{10}{7} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$t - \frac{1}{7} z = 1$

$x + y - \frac{10}{7} z = 1$

$0 = 0$

解题步骤 5

解为使方程组成立的有序对集合。

$(1 + \frac{z}{7}, 1 - y + \frac{10 z}{7}, y, z)$

线性代数 示例

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