线性代数示例

$- 3 + 3 \sqrt{3} i$

解题步骤 1

使用公式 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 计算从 $(a, b)$ 到原点的距离。

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 2

化简 $\sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{9 + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

对 $3 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$r = \sqrt{9 + 3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{9 + 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$r = \sqrt{9 + 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

约去公因数。

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.2

重写表达式。

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{1}}$

解题步骤 2.2.5

计算指数。

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3}$

解题步骤 2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$r = \sqrt{9 + 27}$

解题步骤 2.3.2

将 $9$ 和 $27$ 相加。

$r = \sqrt{36}$

解题步骤 2.3.3

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$r = \sqrt{6^{2}}$

解题步骤 2.3.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$r = 6$

解题步骤 3

计算参考角 $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ 。

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$

解题步骤 4

化简 $\arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$ 。

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解题步骤 4.1

约去 $3$ 和 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

从 $3 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 (\sqrt{3})}{- 3} |)$

解题步骤 4.1.2

移动 $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ 中分母的负号。

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot \sqrt{3} |)$

解题步骤 4.2

将 $- 1 \cdot \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$θ̂ = \arctan (| - \sqrt{3} |)$

解题步骤 4.3

$- \sqrt{3}$ 约为 $- 1.7320508$ ，因其为负数，所以对 $- \sqrt{3}$ 取反并去掉绝对值

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

解题步骤 4.4

$\arctan (\sqrt{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$θ̂ = \frac{π}{3}$

解题步骤 5

因为 $x$ 是负数而 $y$ 是正数，所以该点位于第二象限。各象限从右上角开始按逆时针方向进行标记。

象限 $2$

解题步骤 6

$(a, b)$ 位于第二象限。 $θ = π - θ̂$

$θ = π - \frac{π}{3}$

解题步骤 7

化简 $θ$ 。

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解题步骤 7.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 7.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 7.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 7.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

解题步骤 7.3.2

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{2 π}{3}$

解题步骤 8

使用公式求复数的根。

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

解题步骤 9

将 $r$ 、 $n$ 和 $θ$ 代入公式。

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解题步骤 9.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

解题步骤 9.2

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

解题步骤 9.3

在公分母上合并分子。

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π k}{2}$

解题步骤 9.4

从 $π \cdot 3$ 中减去 $π$ 。

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解题步骤 9.4.1

将 $π$ 和 $3$ 重新排序。

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π k}{2}$

解题步骤 9.4.2

从 $3 \cdot π$ 中减去 $π$ 。

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$

解题步骤 9.5

组合 ${(6)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$ 。

$c i s \frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

解题步骤 9.6

组合 $c$ 和 $\frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$ 。

$i s \frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

解题步骤 9.7

组合 $i$ 和 $\frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$ 。

$s \frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

解题步骤 9.8

组合 $s$ 和 $\frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$ 。

$\frac{s (i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

解题步骤 9.9

去掉圆括号。

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解题步骤 9.9.1

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c (6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

解题步骤 9.9.2

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

解题步骤 9.9.3

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

解题步骤 9.9.4

去掉圆括号。

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

解题步骤 9.9.5

去掉圆括号。

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

解题步骤 9.9.6

去掉圆括号。

$\frac{s (i c) \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

解题步骤 9.9.7

去掉圆括号。

$\frac{s i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

解题步骤 10

将 $k = 0$ 代入公式并化简。

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解题步骤 10.1

去掉圆括号。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (0)}{2})$

解题步骤 10.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

解题步骤 10.3

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

解题步骤 10.4

在公分母上合并分子。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

解题步骤 10.5

化简分子。

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解题步骤 10.5.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

解题步骤 10.5.2

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (0)}{2})$

解题步骤 10.6

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 10.6.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0 π}{2})$

解题步骤 10.6.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0}{2})$

解题步骤 10.7

将 $\frac{2 π}{3}$ 和 $0$ 相加。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3}}{2})$

解题步骤 10.8

将分子乘以分母的倒数。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 10.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.9.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 10.9.2

约去公因数。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 10.9.3

重写表达式。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

解题步骤 11

将 $k = 1$ 代入公式并化简。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (1)}{2})$

解题步骤 11.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

解题步骤 11.3

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

解题步骤 11.4

在公分母上合并分子。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

解题步骤 11.5

化简分子。

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解题步骤 11.5.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

解题步骤 11.5.2

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (1)}{2})$

解题步骤 11.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π}{2})$

解题步骤 11.7

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{2})$

解题步骤 11.8

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{2})$

解题步骤 11.9

在公分母上合并分子。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 2 π \cdot 3}{3}}{2})$

解题步骤 11.10

化简分子。

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解题步骤 11.10.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 6 π}{3}}{2})$

解题步骤 11.10.2

将 $2 π$ 和 $6 π$ 相加。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{8 π}{3}}{2})$

解题步骤 11.11

将分子乘以分母的倒数。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{8 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 11.12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.12.1

从 $8 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 11.12.2

约去公因数。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 11.12.3

重写表达式。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 12

列出解。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$

线性代数 示例

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