线性代数示例

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

$y - 2 z + x - 5 = 0$

$3 - 2 x = 4 y - z$

解题步骤 1

将所有变量移到每个方程的左边。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上

$5$ 。

$2 x - 3 y + z = 4$

$y - 2 z + x = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

解题步骤 1.2

移动

$- 2 z$ 。

$2 x - 3 y + z = 4$

$y + x - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

解题步骤 1.3

将

$y$ 和

$x$ 重新排序。

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

解题步骤 1.4

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 1.4.1

从等式两边同时减去

$4 y$ 。

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y = - z$

解题步骤 1.4.2

在等式两边都加上

$z$ 。

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

解题步骤 1.5

从等式两边同时减去

$3$ 。

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

解题步骤 2

以矩阵形式表示方程组。

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$

解题步骤 3

求系数矩阵

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ 的行列式。

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解题步骤 3.1

用行列式书写

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ 。

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2

选择包含最多

$0$ 元素的行或列。如果没有

$0$ 元素，选择任何一行或一列。将第

$1$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 3.2.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 3.2.2

代数余子式是指在索引与符号图上的

$-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 3.2.3

$a_{11}$ 的子式是已删除了行

$1$ 和列

$1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2.4

将元素

$a_{11}$ 乘以其代数余子式。

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2.5

$a_{12}$ 的子式是已删除了行

$1$ 和列

$2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2.6

将元素

$a_{12}$ 乘以其代数余子式。

$3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2.7

$a_{13}$ 的子式是已删除了行

$1$ 和列

$3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.2.8

将元素

$a_{13}$ 乘以其代数余子式。

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.2.9

最后把这些项加起来。

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.3

计算

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.3.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$2 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.3.2

化简行列式。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将

$1$ 乘以

$1$ 。

$2 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.3.2.1.2

乘以

$- (- 4 \cdot - 2)$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

将

$- 4$ 乘以

$- 2$ 。

$2 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$8$ 。

$2 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.3.2.2

从

$1$ 中减去

$8$ 。

$2 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.4

计算

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$2 \cdot - 7 + 3 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.4.2

化简行列式。

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解题步骤 3.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1

将

$1$ 乘以

$1$ 。

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.4.2.1.2

乘以

$- (- 2 \cdot - 2)$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.2.1

将

$- 2$ 乘以

$- 2$ 。

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.4.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$4$ 。

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.4.2.2

从

$1$ 中减去

$4$ 。

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.5

计算

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.5.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

解题步骤 3.5.2

化简行列式。

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解题步骤 3.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1.1

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

解题步骤 3.5.2.1.2

乘以

$- (- 2 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.2.1

将

$- 2$ 乘以

$1$ 。

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - - 2)$

解题步骤 3.5.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$- 2$ 。

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 + 2)$

解题步骤 3.5.2.2

将

$- 4$ 和

$2$ 相加。

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

解题步骤 3.6

化简行列式。

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解题步骤 3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.1.1

将

$2$ 乘以

$- 7$ 。

$- 14 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

解题步骤 3.6.1.2

将

$3$ 乘以

$- 3$ 。

$- 14 - 9 + 1 \cdot - 2$

解题步骤 3.6.1.3

将

$- 2$ 乘以

$1$ 。

$- 14 - 9 - 2$

解题步骤 3.6.2

从

$- 14$ 中减去

$9$ 。

$- 23 - 2$

解题步骤 3.6.3

从

$- 23$ 中减去

$2$ 。

$- 25$

$D = - 25$

解题步骤 4

由于行列式不为

$0$ ，方程组可以用克莱姆法则求解。

解题步骤 5

使用克莱姆法则求

$x$ 的值，即

$x = \frac{D_{x}}{D}$ 。

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解题步骤 5.1

将方程组的

$x$ 系数对应的系数矩阵的列

$1$ 替换为

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ 。

$| \begin{array}{c} 4 & - 3 & 1 \\ 5 & 1 & - 2 \\ - 3 & - 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2

求行列式。

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解题步骤 5.2.1

选择包含最多

$0$ 元素的行或列。如果没有

$0$ 元素，选择任何一行或一列。将第

$1$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 5.2.1.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的

$-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 5.2.1.3

$a_{11}$ 的子式是已删除了行

$1$ 和列

$1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.4

将元素

$a_{11}$ 乘以其代数余子式。

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.5

$a_{12}$ 的子式是已删除了行

$1$ 和列

$2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.6

将元素

$a_{12}$ 乘以其代数余子式。

$3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.7

$a_{13}$ 的子式是已删除了行

$1$ 和列

$3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.8

将元素

$a_{13}$ 乘以其代数余子式。

$1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.9

最后把这些项加起来。

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2

计算

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$4 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

将

$1$ 乘以

$1$ 。

$4 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

乘以

$- (- 4 \cdot - 2)$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.1.2.1

将

$- 4$ 乘以

$- 2$ 。

$4 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$8$ 。

$4 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.2.2

从

$1$ 中减去

$8$ 。

$4 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.3

计算

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$4 \cdot - 7 + 3 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.2.1.1

将

$5$ 乘以

$1$ 。

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.3.2.1.2

乘以

$- (- 3 \cdot - 2)$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1.2.1

将

$- 3$ 乘以

$- 2$ 。

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 1 \cdot 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.3.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$6$ 。

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.3.2.2

从

$5$ 中减去

$6$ 。

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.4

计算

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (5 \cdot - 4 - (- 3 \cdot 1))$

解题步骤 5.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.2.1.1

将

$5$ 乘以

$- 4$ 。

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - (- 3 \cdot 1))$

解题步骤 5.2.4.2.1.2

乘以

$- (- 3 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 5.2.4.2.1.2.1

将

$- 3$ 乘以

$1$ 。

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - - 3)$

解题步骤 5.2.4.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$- 3$ 。

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 + 3)$

解题步骤 5.2.4.2.2

将

$- 20$ 和

$3$ 相加。

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

解题步骤 5.2.5

化简行列式。

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解题步骤 5.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.5.1.1

将

$4$ 乘以

$- 7$ 。

$- 28 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

解题步骤 5.2.5.1.2

将

$3$ 乘以

$- 1$ 。

$- 28 - 3 + 1 \cdot - 17$

解题步骤 5.2.5.1.3

将

$- 17$ 乘以

$1$ 。

$- 28 - 3 - 17$

解题步骤 5.2.5.2

从

$- 28$ 中减去

$3$ 。

$- 31 - 17$

解题步骤 5.2.5.3

从

$- 31$ 中减去

$17$ 。

$- 48$

$D_{x} = - 48$

解题步骤 5.3

用公式求解

$x$ 。

$x = \frac{D_{x}}{D}$

解题步骤 5.4

在公式中将

$D$ 替换为

$- 25$ ，将

$D_{x}$ 替换为

$- 48$ 。

$x = \frac{- 48}{- 25}$

解题步骤 5.5

将两个负数相除得到一个正数。

$x = \frac{48}{25}$

解题步骤 6

使用克莱姆法则求

$y$ 的值，即

$y = \frac{D_{y}}{D}$ 。

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解题步骤 6.1

将方程组的

$y$ 系数对应的系数矩阵的列

$2$ 替换为

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ 。

$| \begin{array}{c} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & - 2 \\ - 2 & - 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2

求行列式。

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解题步骤 6.2.1

选择包含最多

$0$ 元素的行或列。如果没有

$0$ 元素，选择任何一行或一列。将第

$1$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 6.2.1.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的

$-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 6.2.1.3

$a_{11}$ 的子式是已删除了行

$1$ 和列

$1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.4

将元素

$a_{11}$ 乘以其代数余子式。

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.5

$a_{12}$ 的子式是已删除了行

$1$ 和列

$2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.6

将元素

$a_{12}$ 乘以其代数余子式。

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.7

$a_{13}$ 的子式是已删除了行

$1$ 和列

$3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.8

将元素

$a_{13}$ 乘以其代数余子式。

$1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.9

最后把这些项加起来。

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2

计算

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$2 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

将

$5$ 乘以

$1$ 。

$2 (5 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

乘以

$- (- 3 \cdot - 2)$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1.2.1

将

$- 3$ 乘以

$- 2$ 。

$2 (5 - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$6$ 。

$2 (5 - 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2.2.2

从

$5$ 中减去

$6$ 。

$2 \cdot - 1 - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3

计算

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$2 \cdot - 1 - 4 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.3.2.1.1

将

$1$ 乘以

$1$ 。

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.2.1.2

乘以

$- (- 2 \cdot - 2)$ 。

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解题步骤 6.2.3.2.1.2.1

将

$- 2$ 乘以

$- 2$ 。

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$4$ 。

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.2.2

从

$1$ 中减去

$4$ 。

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4

计算

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5))$

解题步骤 6.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.4.2.1.1

将

$- 3$ 乘以

$1$ 。

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - (- 2 \cdot 5))$

解题步骤 6.2.4.2.1.2

乘以

$- (- 2 \cdot 5)$ 。

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解题步骤 6.2.4.2.1.2.1

将

$- 2$ 乘以

$5$ 。

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - - 10)$

解题步骤 6.2.4.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$- 10$ 。

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 + 10)$

解题步骤 6.2.4.2.2

将

$- 3$ 和

$10$ 相加。

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

解题步骤 6.2.5

化简行列式。

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解题步骤 6.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.5.1.1

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

$- 2 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

解题步骤 6.2.5.1.2

将

$- 4$ 乘以

$- 3$ 。

$- 2 + 12 + 1 \cdot 7$

解题步骤 6.2.5.1.3

将

$7$ 乘以

$1$ 。

$- 2 + 12 + 7$

解题步骤 6.2.5.2

将

$- 2$ 和

$12$ 相加。

$10 + 7$

解题步骤 6.2.5.3

将

$10$ 和

$7$ 相加。

$17$

$D_{y} = 17$

解题步骤 6.3

用公式求解

$y$ 。

$y = \frac{D_{y}}{D}$

解题步骤 6.4

在公式中将

$D$ 替换为

$- 25$ ，将

$D_{y}$ 替换为

$17$ 。

$y = \frac{17}{- 25}$

解题步骤 6.5

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{17}{25}$

解题步骤 7

使用克莱姆法则求

$z$ 的值，即

$z = \frac{D_{z}}{D}$ 。

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解题步骤 7.1

将方程组的

$z$ 系数对应的系数矩阵的列

$3$ 替换为

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ 。

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & 5 \\ - 2 & - 4 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 7.2

求行列式。

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解题步骤 7.2.1

选择包含最多

$0$ 元素的行或列。如果没有

$0$ 元素，选择任何一行或一列。将第

$1$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 7.2.1.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的

$-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 7.2.1.3

$a_{11}$ 的子式是已删除了行

$1$ 和列

$1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.4

将元素

$a_{11}$ 乘以其代数余子式。

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.5

$a_{12}$ 的子式是已删除了行

$1$ 和列

$2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.6

将元素

$a_{12}$ 乘以其代数余子式。

$3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.7

$a_{13}$ 的子式是已删除了行

$1$ 和列

$3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.8

将元素

$a_{13}$ 乘以其代数余子式。

$4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.9

最后把这些项加起来。

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.2

计算

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$2 (1 \cdot - 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 7.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

将

$- 3$ 乘以

$1$ 。

$2 (- 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

乘以

$- (- 4 \cdot 5)$ 。

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解题步骤 7.2.2.2.1.2.1

将

$- 4$ 乘以

$5$ 。

$2 (- 3 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.2.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$- 20$ 。

$2 (- 3 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.2.2.2

将

$- 3$ 和

$20$ 相加。

$2 \cdot 17 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.3

计算

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.3.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$2 \cdot 17 + 3 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 7.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.3.2.1.1

将

$- 3$ 乘以

$1$ 。

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.3.2.1.2

乘以

$- (- 2 \cdot 5)$ 。

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解题步骤 7.2.3.2.1.2.1

将

$- 2$ 乘以

$5$ 。

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - - 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.3.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$- 10$ 。

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 + 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.3.2.2

将

$- 3$ 和

$10$ 相加。

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.4

计算

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

解题步骤 7.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 7.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.4.2.1.1

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

解题步骤 7.2.4.2.1.2

乘以

$- (- 2 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 7.2.4.2.1.2.1

将

$- 2$ 乘以

$1$ 。

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - - 2)$

解题步骤 7.2.4.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$- 2$ 。

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 + 2)$

解题步骤 7.2.4.2.2

将

$- 4$ 和

$2$ 相加。

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

解题步骤 7.2.5

化简行列式。

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解题步骤 7.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.5.1.1

将

$2$ 乘以

$17$ 。

$34 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

解题步骤 7.2.5.1.2

将

$3$ 乘以

$7$ 。

$34 + 21 + 4 \cdot - 2$

解题步骤 7.2.5.1.3

将

$4$ 乘以

$- 2$ 。

$34 + 21 - 8$

解题步骤 7.2.5.2

将

$34$ 和

$21$ 相加。

$55 - 8$

解题步骤 7.2.5.3

从

$55$ 中减去

$8$ 。

$47$

$D_{z} = 47$

解题步骤 7.3

用公式求解

$z$ 。

$z = \frac{D_{z}}{D}$

解题步骤 7.4

在公式中将

$D$ 替换为

$- 25$ ，将

$D_{z}$ 替换为

$47$ 。

$z = \frac{47}{- 25}$

解题步骤 7.5

将负号移到分数的前面。

$z = - \frac{47}{25}$

解题步骤 8

列出方程组的解。

$x = \frac{48}{25}$

$y = - \frac{17}{25}$

$z = - \frac{47}{25}$

线性代数 示例

线性代数示例