线性代数示例

$2 x - 3 y + z = 4$ $y - 2 z + x - 5 = 0$ $3 - 2 x = 4 y - z$

解题步骤 1

将变量移到左边，将常量移到右边。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$2 x - 3 y + z = 4$

$y - 2 z + x = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

解题步骤 1.2

移动 $- 2 z$ 。

$2 x - 3 y + z = 4$

$y + x - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

解题步骤 1.3

将 $y$ 和 $x$ 重新排序。

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

解题步骤 1.4

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 1.4.1

从等式两边同时减去 $4 y$ 。

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y = - z$

解题步骤 1.4.2

在等式两边都加上 $z$ 。

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

解题步骤 1.5

从等式两边同时减去 $3$ 。

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

解题步骤 2

把方程组写成矩阵。

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 3

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{2}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{2}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{4}{2} \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 1 - 1 & 1 + \frac{3}{2} & - 2 - \frac{1}{2} & 5 - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.3

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.3.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 (- \frac{3}{2}) & 1 + 2 (\frac{1}{2}) & - 3 + 2 \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.4

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{2}{5}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{2}{5}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} (- \frac{5}{2}) & \frac{2}{5} \cdot 3 \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.4.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.5

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 7 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.5.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 7 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & 2 + 7 \cdot - 1 & 1 + 7 (\frac{6}{5}) \end{array}]$

解题步骤 3.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & - 5 & \frac{47}{5} \end{array}]$

解题步骤 3.6

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{5}$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{5}$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot \frac{47}{5} \end{array}]$

解题步骤 3.6.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

解题步骤 3.7

执行行操作 $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.7.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & \frac{6}{5} - \frac{47}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

解题步骤 3.7.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

解题步骤 3.8

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.8.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 2 - \frac{1}{2} (- \frac{47}{25}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

解题步骤 3.8.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & \frac{147}{50} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

解题步骤 3.9

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.9.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{147}{50} + \frac{3}{2} (- \frac{17}{25}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

解题步骤 3.9.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{48}{25} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

解题步骤 4

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x = \frac{48}{25}$

$y = - \frac{17}{25}$

$z = - \frac{47}{25}$

解题步骤 5

解为使方程组成立的有序对集合。

$(\frac{48}{25}, - \frac{17}{25}, - \frac{47}{25})$

线性代数 示例

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