线性代数示例

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] \cdot B = [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

解题步骤 1

求 $[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ 的逆。

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解题步骤 1.1

$2 \times 2$ 矩阵的逆矩阵可以通过使用公式 $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ 求得，其中 $a d - b c$ 是行列式。

解题步骤 1.2

求行列式。

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解题步骤 1.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$\frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 6$

解题步骤 1.2.2

化简行列式。

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解题步骤 1.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.2.1.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.1.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{1}{9} \cdot (9 (3)) - \frac{1}{3} \cdot 6$

解题步骤 1.2.2.1.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot 3) - \frac{1}{3} \cdot 6$

解题步骤 1.2.2.1.1.3

重写表达式。

$3 - \frac{1}{3} \cdot 6$

解题步骤 1.2.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.2.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot 6$

解题步骤 1.2.2.1.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2))$

解题步骤 1.2.2.1.2.3

约去公因数。

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

解题步骤 1.2.2.1.2.4

重写表达式。

$3 - 1 \cdot 2$

解题步骤 1.2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 - 2$

解题步骤 1.2.2.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$1$

解题步骤 1.3

由于行列式非零，所以逆存在。

解题步骤 1.4

将已知值代入逆的公式中。

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

解题步骤 1.5

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1 [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

解题步骤 1.6

将 $1$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

解题步骤 1.7

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.7.1

将 $27$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

解题步骤 1.7.2

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

解题步骤 1.7.3

将 $- \frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

解题步骤 1.7.4

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

解题步骤 2

两边同时乘以 $[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ 的逆。

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

解题步骤 3

化简方程。

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解题步骤 3.1

乘以 $[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ 。

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解题步骤 3.1.1

当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才可以相乘。在本例中，第一个矩阵是 $2 \times 2$ ，第二个矩阵是 $2 \times 2$ 。

解题步骤 3.1.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$[\begin{array}{c} 27 (\frac{1}{9}) - 6 (\frac{1}{3}) & 27 \cdot 6 - 6 \cdot 27 \\ - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 6 + \frac{1}{9} \cdot 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

解题步骤 3.1.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

解题步骤 3.2

将任何矩阵乘以矩阵 $A$ 均为 $A$ 矩阵本身。

$B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

解题步骤 3.3

乘以 $[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才可以相乘。在本例中，第一个矩阵是 $2 \times 2$ ，第二个矩阵是 $2 \times 2$ 。

解题步骤 3.3.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$B = [\begin{array}{c} 27 \cdot - 10 - 6 \cdot - 48 & 27 \cdot 7 - 6 \cdot 30 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 10 + \frac{1}{9} \cdot - 48 & - \frac{1}{3} \cdot 7 + \frac{1}{9} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 3.3.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$B = [\begin{array}{c} 18 & 9 \\ - 2 & 1 \end{array}]$

线性代数 示例

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