线性代数示例

$[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}] \cdot F = [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 1

求

$[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ 的逆。

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解题步骤 1.1

$2 \times 2$ 矩阵的逆矩阵可以通过使用公式

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ 求得，其中

$a d - b c$ 是行列式。

解题步骤 1.2

求行列式。

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解题步骤 1.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$32 (\frac{1}{8}) - \frac{3}{5} \cdot 10$

解题步骤 1.2.2

化简行列式。

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解题步骤 1.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.2.1.1

约去

$8$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.1.1

从

$32$ 中分解出因数

$8$ 。

$8 (4) \frac{1}{8} - \frac{3}{5} \cdot 10$

解题步骤 1.2.2.1.1.2

约去公因数。

$8 \cdot 4 \frac{1}{8} - \frac{3}{5} \cdot 10$

解题步骤 1.2.2.1.1.3

重写表达式。

$4 - \frac{3}{5} \cdot 10$

解题步骤 1.2.2.1.2

约去

$5$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.2.1

将

$- \frac{3}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot 10$

解题步骤 1.2.2.1.2.2

从

$10$ 中分解出因数

$5$ 。

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot (5 (2))$

解题步骤 1.2.2.1.2.3

约去公因数。

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot (5 \cdot 2)$

解题步骤 1.2.2.1.2.4

重写表达式。

$4 - 3 \cdot 2$

解题步骤 1.2.2.1.3

将

$- 3$ 乘以

$2$ 。

$4 - 6$

解题步骤 1.2.2.2

从

$4$ 中减去

$6$ 。

$- 2$

解题步骤 1.3

由于行列式非零，所以逆存在。

解题步骤 1.4

将已知值代入逆的公式中。

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} \frac{1}{8} & - 10 \\ - \frac{3}{5} & 32 \end{array}]$

解题步骤 1.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} \frac{1}{8} & - 10 \\ - \frac{3}{5} & 32 \end{array}]$

解题步骤 1.6

将

$- \frac{1}{2}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

解题步骤 1.7

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.7.1

乘以

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ 。

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解题步骤 1.7.1.1

将

$\frac{1}{8}$ 乘以

$\frac{1}{2}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8 \cdot 2} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

解题步骤 1.7.1.2

将

$8$ 乘以

$2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

解题步骤 1.7.2

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.2.1

将

$- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

解题步骤 1.7.2.2

从

$- 10$ 中分解出因数

$2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 5)) \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

解题步骤 1.7.2.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 5) \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

解题步骤 1.7.2.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & - 1 \cdot - 5 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

解题步骤 1.7.3

将

$- 1$ 乘以

$- 5$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

解题步骤 1.7.4

乘以

$- \frac{1}{2} (- \frac{3}{5})$ 。

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解题步骤 1.7.4.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ 1 (\frac{1}{2}) \frac{3}{5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

解题步骤 1.7.4.2

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

解题步骤 1.7.4.3

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$\frac{3}{5}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{2 \cdot 5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

解题步骤 1.7.4.4

将

$2$ 乘以

$5$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

解题步骤 1.7.5

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.5.1

将

$- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

解题步骤 1.7.5.2

从

$32$ 中分解出因数

$2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (16)) \end{array}]$

解题步骤 1.7.5.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 16) \end{array}]$

解题步骤 1.7.5.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 1 \cdot 16 \end{array}]$

解题步骤 1.7.6

将

$- 1$ 乘以

$16$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}]$

解题步骤 2

两边同时乘以

$[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ 的逆。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 3

化简方程。

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解题步骤 3.1

乘以

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ 。

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解题步骤 3.1.1

当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才可以相乘。在本例中，第一个矩阵是

$2 \times 2$ ，第二个矩阵是

$2 \times 2$ 。

解题步骤 3.1.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot 32 + 5 (\frac{3}{5}) & - \frac{1}{16} \cdot 10 + 5 (\frac{1}{8}) \\ \frac{3}{10} \cdot 32 - 16 (\frac{3}{5}) & \frac{3}{10} \cdot 10 - 16 (\frac{1}{8}) \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 3.1.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2

将任何矩阵乘以矩阵

$A$ 均为

$A$ 矩阵本身。

$F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 3.3

乘以

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才可以相乘。在本例中，第一个矩阵是

$2 \times 2$ ，第二个矩阵是

$2 \times 2$ 。

解题步骤 3.3.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot - 80 + 5 \cdot 1 & - \frac{1}{16} \cdot 80 + 5 \cdot 2 \\ \frac{3}{10} \cdot - 80 - 16 \cdot 1 & \frac{3}{10} \cdot 80 - 16 \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 3.3.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$F = [\begin{array}{c} 10 & 5 \\ - 40 & - 8 \end{array}]$

线性代数 示例

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