线性代数示例

$x + y + z = - 6$ $2 x + y - z = - 1$ $x - 2 y + 3 z = - 6$

解题步骤 1

把方程组写成矩阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 2 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 & 3 & - 6 \end{array}]$

解题步骤 2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.1.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot - 6 \\ 1 & - 2 & 3 & - 6 \end{array}]$

解题步骤 2.1.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & - 1 & - 3 & 11 \\ 1 & - 2 & 3 & - 6 \end{array}]$

解题步骤 2.2

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.2.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & - 1 & - 3 & 11 \\ 1 - 1 & - 2 - 1 & 3 - 1 & - 6 + 6 \end{array}]$

解题步骤 2.2.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & - 1 & - 3 & 11 \\ 0 & - 3 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.3

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- 1$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- 1$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ - 0 & - - 1 & - - 3 & - 1 \cdot 11 \\ 0 & - 3 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.3.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 1 & 3 & - 11 \\ 0 & - 3 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.4

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.4.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 1 & 3 & - 11 \\ 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 2 + 3 \cdot 3 & 0 + 3 \cdot - 11 \end{array}]$

解题步骤 2.4.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 1 & 3 & - 11 \\ 0 & 0 & 11 & - 33 \end{array}]$

解题步骤 2.5

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{11}$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{11}$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 1 & 3 & - 11 \\ \frac{0}{11} & \frac{0}{11} & \frac{11}{11} & \frac{- 33}{11} \end{array}]$

解题步骤 2.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 1 & 3 & - 11 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 2.6

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.6.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & - 11 - 3 \cdot - 3 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 2.6.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 2.7

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.7.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & - 6 + 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 2.7.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 2.8

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.8.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - 3 + 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 2.8.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x = - 1$

$y = - 2$

$z = - 3$

解题步骤 4

解为使方程组成立的有序对集合。

$(- 1, - 2, - 3)$

线性代数 示例

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