线性代数示例

$x + y + z = 6$ $2 x - y - z = 3$ $x + 2 y + 2 z = 0$

解题步骤 1

把方程组写成矩阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & - 1 & - 1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.1.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot 6 \\ 1 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.1.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & - 3 & - 3 & - 9 \\ 1 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.2

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.2.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & - 3 & - 3 & - 9 \\ 1 - 1 & 2 - 1 & 2 - 1 & 0 - 6 \end{array}]$

解题步骤 2.2.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & - 3 & - 3 & - 9 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \end{array}]$

解题步骤 2.3

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{3}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{3}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 9 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \end{array}]$

解题步骤 2.3.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \end{array}]$

解题步骤 2.4

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.4.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 1 & - 6 - 3 \end{array}]$

解题步骤 2.4.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & - 9 \end{array}]$

解题步骤 2.5

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{9}$ ，使 $3, 4$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{9}$ ，使 $3, 4$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 \end{array}]$

解题步骤 2.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.6

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ 使 $2, 4$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.6.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ 使 $2, 4$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.6.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.7

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 6 R_{3}$ 使 $1, 4$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.7.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 6 R_{3}$ 使 $1, 4$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.7.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.8

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.8.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.8.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x = 0$

$y + z = 0$

$0 = 1$

解题步骤 4

方程组不一致，因此没有解。

$无解$

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