线性代数示例

$x + 3 y - 4 z = 2$ $3 x + 10 y - 12 z = 8$ $9 x + 28 y - 36 z = 20$

解题步骤 1

把方程组写成矩阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 4 & 2 \\ 3 & 10 & - 12 & 8 \\ 9 & 28 & - 36 & 20 \end{array}]$

解题步骤 2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.1.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 4 & 2 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 10 - 3 \cdot 3 & - 12 - 3 \cdot - 4 & 8 - 3 \cdot 2 \\ 9 & 28 & - 36 & 20 \end{array}]$

解题步骤 2.1.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 9 & 28 & - 36 & 20 \end{array}]$

解题步骤 2.2

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 9 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.2.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 9 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 9 - 9 \cdot 1 & 28 - 9 \cdot 3 & - 36 - 9 \cdot - 4 & 20 - 9 \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 2.2.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{array}]$

解题步骤 2.3

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.3.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 2 - 2 \end{array}]$

解题步骤 2.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.4

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.4.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & - 4 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.4.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & - 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x - 4 z = - 4$

$y = 2$

$0 = 0$

解题步骤 4

解为使方程组成立的有序对集合。

$(- 4 + 4 z, 2, z)$

线性代数 示例

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