线性代数示例

5 x + 3 = 4 y

$5 x + 3 = 4 y$ ,

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

解题步骤 1

将所有变量移到每个方程的左边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去

4 y

$4 y$ 。

5 x + 3 - 4 y = 0

$5 x + 3 - 4 y = 0$

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去

3

$3$ 。

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

解题步骤 1.3

从等式两边同时减去

8 x

$8 x$ 。

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

y - 8 x = - 2

$y - 8 x = - 2$

解题步骤 1.4

将

y

$y$ 和

- 8 x

$- 8 x$ 重新排序。

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

- 8 x + y = - 2

$- 8 x + y = - 2$

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

- 8 x + y = - 2

$- 8 x + y = - 2$

解题步骤 2

以矩阵形式表示方程组。

[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$

解题步骤 3

求系数矩阵

[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ 的行列式。

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解题步骤 3.1

用行列式书写

[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ 。

| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2

可以使用公式

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)

$5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)$

解题步骤 3.3

化简行列式。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

将

5

$5$ 乘以

1

$1$ 。

5 - (- 8 \cdot - 4)

$5 - (- 8 \cdot - 4)$

解题步骤 3.3.1.2

乘以

- (- 8 \cdot - 4)

$- (- 8 \cdot - 4)$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

将

- 8

$- 8$ 乘以

- 4

$- 4$ 。

5 - 1 \cdot 32

$5 - 1 \cdot 32$

解题步骤 3.3.1.2.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

32

$32$ 。

5 - 32

$5 - 32$

5 - 32

$5 - 32$

5 - 32

$5 - 32$

解题步骤 3.3.2

从

5

$5$ 中减去

32

$32$ 。

- 27

$- 27$

- 27

$- 27$

D = - 27

$D = - 27$

解题步骤 4

由于行列式不为

0

$0$ ，方程组可以用克莱姆法则求解。

解题步骤 5

使用克莱姆法则求

x

$x$ 的值，即

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$ 。

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解题步骤 5.1

将方程组的

x

$x$ 系数对应的系数矩阵的列

1

$1$ 替换为

[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ 。

| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2

求行列式。

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解题步骤 5.2.1

可以使用公式

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)

$- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)$

解题步骤 5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

将

- 3

$- 3$ 乘以

1

$1$ 。

- 3 - (- 2 \cdot - 4)

$- 3 - (- 2 \cdot - 4)$

解题步骤 5.2.2.1.2

乘以

- (- 2 \cdot - 4)

$- (- 2 \cdot - 4)$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1

将

- 2

$- 2$ 乘以

- 4

$- 4$ 。

- 3 - 1 \cdot 8

$- 3 - 1 \cdot 8$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

8

$8$ 。

- 3 - 8

$- 3 - 8$

- 3 - 8

$- 3 - 8$

- 3 - 8

$- 3 - 8$

解题步骤 5.2.2.2

从

- 3

$- 3$ 中减去

8

$8$ 。

- 11

$- 11$

- 11

$- 11$

D_{x} = - 11

$D_{x} = - 11$

解题步骤 5.3

用公式求解

x

$x$ 。

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$

解题步骤 5.4

在公式中将

D

$D$ 替换为

- 27

$- 27$ ，将

D_{x}

$D_{x}$ 替换为

- 11

$- 11$ 。

x = \frac{- 11}{- 27}

$x = \frac{- 11}{- 27}$

解题步骤 5.5

将两个负数相除得到一个正数。

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

解题步骤 6

使用克莱姆法则求

y

$y$ 的值，即

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$ 。

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解题步骤 6.1

将方程组的

y

$y$ 系数对应的系数矩阵的列

2

$2$ 替换为

[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ 。

| \begin{array}{c} 5 & - 3 \\ - 8 & - 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & - 3 \\ - 8 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 6.2

求行列式。

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解题步骤 6.2.1

可以使用公式

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)

$5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)$

解题步骤 6.2.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1

将

5

$5$ 乘以

- 2

$- 2$ 。

- 10 - (- 8 \cdot - 3)

$- 10 - (- 8 \cdot - 3)$

解题步骤 6.2.2.1.2

乘以

- (- 8 \cdot - 3)

$- (- 8 \cdot - 3)$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

将

- 8

$- 8$ 乘以

- 3

$- 3$ 。

- 10 - 1 \cdot 24

$- 10 - 1 \cdot 24$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

24

$24$ 。

- 10 - 24

$- 10 - 24$

- 10 - 24

$- 10 - 24$

- 10 - 24

$- 10 - 24$

解题步骤 6.2.2.2

从

- 10

$- 10$ 中减去

24

$24$ 。

- 34

$- 34$

- 34

$- 34$

D_{y} = - 34

$D_{y} = - 34$

解题步骤 6.3

用公式求解

y

$y$ 。

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$

解题步骤 6.4

在公式中将

D

$D$ 替换为

- 27

$- 27$ ，将

D_{y}

$D_{y}$ 替换为

- 34

$- 34$ 。

y = \frac{- 34}{- 27}

$y = \frac{- 34}{- 27}$

解题步骤 6.5

将两个负数相除得到一个正数。

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$

解题步骤 7

列出方程组的解。

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$

线性代数 示例

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