线性代数示例

$5 x + 3 = 4 y$ , $y = 8 x - 2$

解题步骤 1

将所有变量移到每个方程的左边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $4 y$ 。

$5 x + 3 - 4 y = 0$

$y = 8 x - 2$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$5 x - 4 y = - 3$

$y = 8 x - 2$

解题步骤 1.3

从等式两边同时减去 $8 x$ 。

$5 x - 4 y = - 3$

$y - 8 x = - 2$

解题步骤 1.4

将 $y$ 和 $- 8 x$ 重新排序。

$5 x - 4 y = - 3$

$- 8 x + y = - 2$

$5 x - 4 y = - 3$

$- 8 x + y = - 2$

解题步骤 2

以矩阵形式表示方程组。

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$

解题步骤 3

求系数矩阵 $[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ 的行列式。

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解题步骤 3.1

用行列式书写 $[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ 。

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)$

解题步骤 3.3

化简行列式。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 - (- 8 \cdot - 4)$

解题步骤 3.3.1.2

乘以 $- (- 8 \cdot - 4)$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

将 $- 8$ 乘以 $- 4$ 。

$5 - 1 \cdot 32$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $32$ 。

$5 - 32$

解题步骤 3.3.2

从 $5$ 中减去 $32$ 。

$- 27$

$D = - 27$

解题步骤 4

由于行列式不为 $0$ ，方程组可以用克莱姆法则求解。

解题步骤 5

使用克莱姆法则求 $x$ 的值，即 $x = \frac{D_{x}}{D}$ 。

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解题步骤 5.1

将方程组的 $x$ 系数对应的系数矩阵的列 $1$ 替换为 $[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ 。

$| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2

求行列式。

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解题步骤 5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)$

解题步骤 5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 - (- 2 \cdot - 4)$

解题步骤 5.2.2.1.2

乘以 $- (- 2 \cdot - 4)$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$- 3 - 1 \cdot 8$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 3 - 8$

解题步骤 5.2.2.2

从 $- 3$ 中减去 $8$ 。

$- 11$

$D_{x} = - 11$

解题步骤 5.3

用公式求解 $x$ 。

$x = \frac{D_{x}}{D}$

解题步骤 5.4

在公式中将 $D$ 替换为 $- 27$ ，将 $D_{x}$ 替换为 $- 11$ 。

$x = \frac{- 11}{- 27}$

解题步骤 5.5

将两个负数相除得到一个正数。

$x = \frac{11}{27}$

解题步骤 6

使用克莱姆法则求 $y$ 的值，即 $y = \frac{D_{y}}{D}$ 。

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解题步骤 6.1

将方程组的 $y$ 系数对应的系数矩阵的列 $2$ 替换为 $[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ 。

$| \begin{array}{c} 5 & - 3 \\ - 8 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 6.2

求行列式。

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解题步骤 6.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)$

解题步骤 6.2.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$- 10 - (- 8 \cdot - 3)$

解题步骤 6.2.2.1.2

乘以 $- (- 8 \cdot - 3)$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

将 $- 8$ 乘以 $- 3$ 。

$- 10 - 1 \cdot 24$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$- 10 - 24$

解题步骤 6.2.2.2

从 $- 10$ 中减去 $24$ 。

$- 34$

$D_{y} = - 34$

解题步骤 6.3

用公式求解 $y$ 。

$y = \frac{D_{y}}{D}$

解题步骤 6.4

在公式中将 $D$ 替换为 $- 27$ ，将 $D_{y}$ 替换为 $- 34$ 。

$y = \frac{- 34}{- 27}$

解题步骤 6.5

将两个负数相除得到一个正数。

$y = \frac{34}{27}$

解题步骤 7

列出方程组的解。

$x = \frac{11}{27}$

$y = \frac{34}{27}$

线性代数 示例

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