线性代数示例

$3 z + 3 x + 3 y = 19$ , $x + 3 = y$ , $z = y - 4 x + 1$

解题步骤 1

Move all of the variables to the left side of each equation.

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解题步骤 1.1

移动 $3 z$ 。

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

$x + 3 = y$

$z = y - 4 x + 1$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

$x + 3 - y = 0$

$z = y - 4 x + 1$

解题步骤 1.3

从等式两边同时减去 $3$ 。

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

$x - y = - 3$

$z = y - 4 x + 1$

解题步骤 1.4

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 1.4.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

$x - y = - 3$

$z - y = - 4 x + 1$

解题步骤 1.4.2

在等式两边都加上 $4 x$ 。

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

$x - y = - 3$

$z - y + 4 x = 1$

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

$x - y = - 3$

$z - y + 4 x = 1$

解题步骤 1.5

移动 $z$ 。

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

$x - y = - 3$

$- y + 4 x + z = 1$

解题步骤 1.6

将 $- y$ 和 $4 x$ 重新排序。

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

$x - y = - 3$

$4 x - y + z = 1$

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

$x - y = - 3$

$4 x - y + z = 1$

解题步骤 2

以矩阵形式表示方程组。

$[\begin{array}{c} 3 & 3 & 3 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 19 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 3

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 3 & 3 & 3 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}]$ .

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解题步骤 3.1

Write $[\begin{array}{c} 3 & 3 & 3 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 & 3 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 3.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 3.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 3.2.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 3.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & - 1 \end{array} |$ 。

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 (3 \cdot 1 - (- 1 \cdot 3)) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.4.2

化简行列式。

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解题步骤 3.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 1 (3 - (- 1 \cdot 3)) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.4.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 1 (3 - - 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- 1 (3 + 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.4.2.2

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$- 1 \cdot 6 - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.5.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 \cdot 6 - 1 (3 \cdot 1 - 4 \cdot 3) + 0$

解题步骤 3.5.2

化简行列式。

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解题步骤 3.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot 6 - 1 (3 - 4 \cdot 3) + 0$

解题步骤 3.5.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$- 1 \cdot 6 - 1 (3 - 12) + 0$

解题步骤 3.5.2.2

从 $3$ 中减去 $12$ 。

$- 1 \cdot 6 - 1 \cdot - 9 + 0$

解题步骤 3.6

化简行列式。

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解题步骤 3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.1.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 6 - 1 \cdot - 9 + 0$

解题步骤 3.6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$- 6 + 9 + 0$

解题步骤 3.6.2

将 $- 6$ 和 $9$ 相加。

$3 + 0$

解题步骤 3.6.3

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

$D = 3$

解题步骤 4

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

解题步骤 5

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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解题步骤 5.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 19 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 19 & 3 & 3 \\ - 3 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2

Find the determinant.

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解题步骤 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.2.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.9

Add the terms together.

$3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ 。

$3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.3

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$3 (3 \cdot 1 - (- 1 \cdot 3)) - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.2.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 (3 - (- 1 \cdot 3)) - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.3.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 (3 - - 3) - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$3 (3 + 3) - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.3.2.2

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$3 \cdot 6 - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$3 \cdot 6 - 1 (19 \cdot 1 - 1 \cdot 3) + 0$

解题步骤 5.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.2.1.1

将 $19$ 乘以 $1$ 。

$3 \cdot 6 - 1 (19 - 1 \cdot 3) + 0$

解题步骤 5.2.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 \cdot 6 - 1 (19 - 3) + 0$

解题步骤 5.2.4.2.2

从 $19$ 中减去 $3$ 。

$3 \cdot 6 - 1 \cdot 16 + 0$

解题步骤 5.2.5

化简行列式。

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解题步骤 5.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.5.1.1

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$18 - 1 \cdot 16 + 0$

解题步骤 5.2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$18 - 16 + 0$

解题步骤 5.2.5.2

从 $18$ 中减去 $16$ 。

$2 + 0$

解题步骤 5.2.5.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

$D_{x} = 2$

解题步骤 5.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

解题步骤 5.4

Substitute $3$ for $D$ and $2$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{2}{3}$

解题步骤 6

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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解题步骤 6.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 19 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 3 & 19 & 3 \\ 1 & - 3 & 0 \\ 4 & 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2

Find the determinant.

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解题步骤 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 6.2.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 19 \\ 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 19 \\ 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 19 \\ 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 3 & 19 \\ 4 & 1 \end{array} |$ 。

$- 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 6.2.3

计算 $| \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 (19 \cdot 1 - 1 \cdot 3) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 6.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.3.2.1.1

将 $19$ 乘以 $1$ 。

$- 1 (19 - 1 \cdot 3) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 6.2.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 1 (19 - 3) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 6.2.3.2.2

从 $19$ 中减去 $3$ 。

$- 1 \cdot 16 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 6.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 \cdot 16 - 3 (3 \cdot 1 - 4 \cdot 3) + 0$

解题步骤 6.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot 16 - 3 (3 - 4 \cdot 3) + 0$

解题步骤 6.2.4.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$- 1 \cdot 16 - 3 (3 - 12) + 0$

解题步骤 6.2.4.2.2

从 $3$ 中减去 $12$ 。

$- 1 \cdot 16 - 3 \cdot - 9 + 0$

解题步骤 6.2.5

化简行列式。

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解题步骤 6.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$- 16 - 3 \cdot - 9 + 0$

解题步骤 6.2.5.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 9$ 。

$- 16 + 27 + 0$

解题步骤 6.2.5.2

将 $- 16$ 和 $27$ 相加。

$11 + 0$

解题步骤 6.2.5.3

将 $11$ 和 $0$ 相加。

$11$

$D_{y} = 11$

解题步骤 6.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

解题步骤 6.4

Substitute $3$ for $D$ and $11$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{11}{3}$

解题步骤 7

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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解题步骤 7.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 19 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 3 & 3 & 19 \\ 1 & - 1 & - 3 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2

Find the determinant.

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解题步骤 7.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 7.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 7.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.9

Add the terms together.

$3 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.2

计算 $| \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$3 (- 1 \cdot 1 - - - 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 7.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 (- 1 - - - 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

乘以 $- - - 3$ 。

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解题步骤 7.2.2.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$3 (- 1 - 1 \cdot 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 (- 1 - 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.2.2.2

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$3 \cdot - 4 - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.3

计算 $| \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$3 \cdot - 4 - 3 (1 \cdot 1 - 4 \cdot - 3) + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 7.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.3.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$3 \cdot - 4 - 3 (1 - 4 \cdot - 3) + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.3.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$3 \cdot - 4 - 3 (1 + 12) + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.3.2.2

将 $1$ 和 $12$ 相加。

$3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 (1 \cdot - 1 - 4 \cdot - 1)$

解题步骤 7.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 7.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.4.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 (- 1 - 4 \cdot - 1)$

解题步骤 7.2.4.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 (- 1 + 4)$

解题步骤 7.2.4.2.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 \cdot 3$

解题步骤 7.2.5

化简行列式。

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解题步骤 7.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.5.1.1

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$- 12 - 3 \cdot 13 + 19 \cdot 3$

解题步骤 7.2.5.1.2

将 $- 3$ 乘以 $13$ 。

$- 12 - 39 + 19 \cdot 3$

解题步骤 7.2.5.1.3

将 $19$ 乘以 $3$ 。

$- 12 - 39 + 57$

解题步骤 7.2.5.2

从 $- 12$ 中减去 $39$ 。

$- 51 + 57$

解题步骤 7.2.5.3

将 $- 51$ 和 $57$ 相加。

$6$

$D_{z} = 6$

解题步骤 7.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

解题步骤 7.4

Substitute $3$ for $D$ and $6$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{6}{3}$

解题步骤 7.5

用 $6$ 除以 $3$ 。

$z = 2$

解题步骤 8

列出方程组的解。

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{11}{3}$

$z = 2$

线性代数 示例

线性代数示例