有限数学示例

$y = - \frac{4}{5} x + 2$

解题步骤 1

交换变量。

$x = - \frac{4}{5} y + 2$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $- \frac{4}{5} y + 2 = x$ 。

$- \frac{4}{5} y + 2 = x$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

组合 $y$ 和 $\frac{4}{5}$ 。

$- \frac{y \cdot 4}{5} + 2 = x$

解题步骤 2.2.2

将 $4$ 移到 $y$ 的左侧。

$- \frac{4 y}{5} + 2 = x$

解题步骤 2.3

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- \frac{4 y}{5} = x - 2$

解题步骤 2.4

等式两边同时乘以 $- \frac{5}{4}$ 。

$- \frac{5}{4} (- \frac{4 y}{5}) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

解题步骤 2.5

化简方程的两边。

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解题步骤 2.5.1

化简左边。

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解题步骤 2.5.1.1

化简 $- \frac{5}{4} (- \frac{4 y}{5})$ 。

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解题步骤 2.5.1.1.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1.1.1.1

将 $- \frac{5}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 5}{4} (- \frac{4 y}{5}) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

解题步骤 2.5.1.1.1.2

将 $- \frac{4 y}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - 2)$

解题步骤 2.5.1.1.1.3

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - 2)$

解题步骤 2.5.1.1.1.4

约去公因数。

$\frac{5 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - 2)$

解题步骤 2.5.1.1.1.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{4} (- 4 y) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

解题步骤 2.5.1.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1.1.2.1

从 $- 4 y$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

解题步骤 2.5.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

解题步骤 2.5.1.1.2.3

重写表达式。

$- - y = - \frac{5}{4} (x - 2)$

解题步骤 2.5.1.1.3

乘。

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解题步骤 2.5.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y = - \frac{5}{4} (x - 2)$

解题步骤 2.5.1.1.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = - \frac{5}{4} (x - 2)$

解题步骤 2.5.2

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.1

化简 $- \frac{5}{4} (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.5.2.1.1

化简项。

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解题步骤 2.5.2.1.1.1

运用分配律。

$y = - \frac{5}{4} x - \frac{5}{4} \cdot - 2$

解题步骤 2.5.2.1.1.2

组合 $x$ 和 $\frac{5}{4}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} - \frac{5}{4} \cdot - 2$

解题步骤 2.5.2.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.1.3.1

将 $- \frac{5}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{4} \cdot - 2$

解题步骤 2.5.2.1.1.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 (2)} \cdot - 2$

解题步骤 2.5.2.1.1.3.3

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

解题步骤 2.5.2.1.1.3.4

约去公因数。

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

解题步骤 2.5.2.1.1.3.5

重写表达式。

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2} \cdot - 1$

解题步骤 2.5.2.1.1.4

组合 $\frac{- 5}{2}$ 和 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5 \cdot - 1}{2}$

解题步骤 2.5.2.1.1.5

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 2.5.2.1.2

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$ 是否为 $f (x) = - \frac{4}{5} x + 2$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2)$ 。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (- \frac{4}{5} x + 2)}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1.1

组合 $x$ 和 $\frac{4}{5}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (- \frac{x \cdot 4}{5} + 2)}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.3.1.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (- \frac{4 \cdot x}{5} + 2)}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.3.1.3

从 $- \frac{4 x}{5} + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.3.1

从 $- \frac{4 x}{5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (2 (- \frac{2 x}{5}) + 2)}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.3.1.3.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (2 (- \frac{2 x}{5}) + 2 (1))}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.3.1.3.3

从 $2 (- \frac{2 x}{5}) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (2 (- \frac{2 x}{5} + 1))}{4} + \frac{5}{2}$

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 \cdot (2 (- \frac{2 x}{5} + 1))}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.3.1.4

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{10 (- \frac{2 x}{5} + 1)}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.3.1.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{10 (- \frac{2 x}{5} + \frac{5}{5})}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.3.1.6

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{10 (\frac{- 2 x + 5}{5})}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.3.2

组合 $10$ 和 $\frac{- 2 x + 5}{5}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{10 (- 2 x + 5)}{5}}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.3.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.3.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{10 (- 2 x + 5)}{5}$ 。

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解题步骤 4.2.3.3.1.1

从 $10 (- 2 x + 5)$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{5 (2 (- 2 x + 5))}{5}}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.3.3.1.2

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{5 (2 (- 2 x + 5))}{5 (1)}}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.3.3.1.3

约去公因数。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{5 (2 (- 2 x + 5))}{5 \cdot 1}}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.3.3.1.4

重写表达式。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{2 (- 2 x + 5)}{1}}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.3.3.2

用 $2 (- 2 x + 5)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{2 (- 2 x + 5)}{4} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.3.4

约去公因数。

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解题步骤 4.2.3.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{2 (- 2 x + 5)}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.3.4.2

约去公因数。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{2 (- 2 x + 5)}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.3.4.3

重写表达式。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{- 2 x + 5}{2} + \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.4

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{- (- 2 x + 5) + 5}{2}$

解题步骤 4.2.5

化简每一项。

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解题步骤 4.2.5.1

运用分配律。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{- (- 2 x) - 1 \cdot 5 + 5}{2}$

解题步骤 4.2.5.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x - 1 \cdot 5 + 5}{2}$

解题步骤 4.2.5.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x - 5 + 5}{2}$

解题步骤 4.2.6

化简项。

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解题步骤 4.2.6.1

合并 $2 x - 5 + 5$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.6.1.1

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x + 0}{2}$

解题步骤 4.2.6.1.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 4.2.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 4.2.6.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2})$ 。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) + 2$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

运用分配律。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

解题步骤 4.3.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.1

将 $- \frac{4}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

解题步骤 4.3.3.2.2

将 $- \frac{5 x}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 4}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

解题步骤 4.3.3.2.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{4 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

解题步骤 4.3.3.2.4

约去公因数。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{4 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

解题步骤 4.3.3.2.5

重写表达式。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 1}{5} \cdot (- 5 x) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

解题步骤 4.3.3.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.3.1

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

解题步骤 4.3.3.3.2

约去公因数。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

解题步骤 4.3.3.3.3

重写表达式。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = - 1 (- x) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

解题步骤 4.3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = 1 x - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

解题步骤 4.3.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

解题步骤 4.3.3.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.6.1

将 $- \frac{4}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{- 4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

解题步骤 4.3.3.6.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{2 (- 2)}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

解题步骤 4.3.3.6.3

约去公因数。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{2 \cdot - 2}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

解题步骤 4.3.3.6.4

重写表达式。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{- 2}{5} \cdot 5 + 2$

解题步骤 4.3.3.7

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.7.1

约去公因数。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{- 2}{5} \cdot 5 + 2$

解题步骤 4.3.3.7.2

重写表达式。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x - 2 + 2$

解题步骤 4.3.4

合并 $x - 2 + 2$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + 0$

解题步骤 4.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$ 为 $f (x) = - \frac{4}{5} x + 2$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$

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