有限数学示例

$s (x) = x (x^{2} - \frac{8}{x})$

解题步骤 1

将 $s (x) = x (x^{2} - \frac{8}{x})$ 写为等式。

$y = x (x^{2} - \frac{8}{x})$

解题步骤 2

交换变量。

$x = y (y^{2} - \frac{8}{y})$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $y (y^{2} - \frac{8}{y}) = x$ 。

$y (y^{2} - \frac{8}{y}) = x$

解题步骤 3.2

化简 $y (y^{2} - \frac{8}{y})$ 。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$y \cdot y^{2} + y (- \frac{8}{y}) = x$

解题步骤 3.2.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y^{1} y^{2} + y (- \frac{8}{y}) = x$

解题步骤 3.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y^{1 + 2} + y (- \frac{8}{y}) = x$

解题步骤 3.2.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y^{3} + y (- \frac{8}{y}) = x$

解题步骤 3.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$y^{3} - y \frac{8}{y} = x$

解题步骤 3.2.4

化简每一项。

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解题步骤 3.2.4.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.1.1

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y^{3} + y \cdot - 1 \frac{8}{y} = x$

解题步骤 3.2.4.1.2

约去公因数。

$y^{3} + y \cdot - 1 \frac{8}{y} = x$

解题步骤 3.2.4.1.3

重写表达式。

$y^{3} - 1 \cdot 8 = x$

解题步骤 3.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$y^{3} - 8 = x$

解题步骤 3.3

在等式两边都加上 $8$ 。

$y^{3} = x + 8$

解题步骤 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{x + 8}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $s^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$s^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8}$

解题步骤 5

验证 $s^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8}$ 是否为 $s (x) = x (x^{2} - \frac{8}{x})$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $s^{- 1} (s (x)) = x$ 和 $s (s^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $s^{- 1} (s (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$s^{- 1} (s (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $s$ 的值代入 $s^{- 1}$ 来计算 $s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x}))$ 。

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{(x (x^{2} - \frac{8}{x})) + 8}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x (- \frac{8}{x}) + 8}$

解题步骤 5.2.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x (- \frac{8}{x}) + 8}$

解题步骤 5.2.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{1 + 2} + x (- \frac{8}{x}) + 8}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} + x (- \frac{8}{x}) + 8}$

解题步骤 5.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} - x \frac{8}{x} + 8}$

解题步骤 5.2.6

化简每一项。

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解题步骤 5.2.6.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.1.1

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} + x \cdot (- 1 \frac{8}{x}) + 8}$

解题步骤 5.2.6.1.2

约去公因数。

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} + x \cdot (- 1 \frac{8}{x}) + 8}$

解题步骤 5.2.6.1.3

重写表达式。

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} - 1 \cdot 8 + 8}$

解题步骤 5.2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} - 8 + 8}$

解题步骤 5.2.7

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 5.2.7.1

将 $- 8$ 和 $8$ 相加。

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

解题步骤 5.2.7.2

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3}}$

解题步骤 5.2.8

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = x$

解题步骤 5.3

计算 $s (s^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$s (s^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $s^{- 1}$ 的值代入 $s$ 来计算 $s (\sqrt[3]{x + 8})$ 。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = (\sqrt[3]{x + 8}) ({(\sqrt[3]{x + 8})}^{2} - \frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}})$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

将 ${\sqrt[3]{x + 8}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ 。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}})$

解题步骤 5.3.3.2

将 $\frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}$ 。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - (\frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}))$

解题步骤 5.3.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将 $\frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}$ 。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}})$

解题步骤 5.3.3.3.2

对 $\sqrt[3]{x + 8}$ 进行 $1$ 次方运算。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}})$

解题步骤 5.3.3.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{1 + 2}})$

解题步骤 5.3.3.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{3}})$

解题步骤 5.3.3.3.5

将 ${\sqrt[3]{x + 8}}^{3}$ 重写为 $x + 8$ 。

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解题步骤 5.3.3.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x + 8}$ 重写成 ${(x + 8)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{({(x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

解题步骤 5.3.3.3.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{(x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

解题步骤 5.3.3.3.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{(x + 8)}^{\frac{3}{3}}})$

解题步骤 5.3.3.3.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.5.4.1

约去公因数。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{(x + 8)}^{\frac{3}{3}}})$

解题步骤 5.3.3.3.5.4.2

重写表达式。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{x + 8})$

解题步骤 5.3.3.3.5.5

化简。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{x + 8})$

解题步骤 5.3.3.4

将 ${\sqrt[3]{x + 8}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ 。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}}{x + 8})$

解题步骤 5.3.4

要将 $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 8}{x + 8}$ 。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8)}{x + 8} - \frac{8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}}{x + 8})$

解题步骤 5.3.5

在公分母上合并分子。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8) - 8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}}{x + 8})$

解题步骤 5.3.6

化简分子。

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解题步骤 5.3.6.1

从 $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8) - 8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ 中分解出因数 $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ 。

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解题步骤 5.3.6.1.1

从 $- 8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ 中分解出因数 $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ 。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8) + \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} \cdot - 8}{x + 8})$

解题步骤 5.3.6.1.2

从 $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8) + \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} \cdot - 8$ 中分解出因数 $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ 。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8 - 8)}{x + 8})$

解题步骤 5.3.6.2

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 0)}{x + 8})$

解题步骤 5.3.6.3

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} x}{x + 8})$

解题步骤 5.3.7

乘以 $\sqrt[3]{x + 8} \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} x}{x + 8}$ 。

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解题步骤 5.3.7.1

组合 $\sqrt[3]{x + 8}$ 和 $\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} x}{x + 8}$ 。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} x)}{x + 8}$

解题步骤 5.3.7.2

使用根数乘积法则进行合并。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2} (x + 8)} x}{x + 8}$

解题步骤 5.3.7.3

通过指数相加将 ${(x + 8)}^{2}$ 乘以 $x + 8$ 。

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解题步骤 5.3.7.3.1

将 ${(x + 8)}^{2}$ 乘以 $x + 8$ 。

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解题步骤 5.3.7.3.1.1

对 $x + 8$ 进行 $1$ 次方运算。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2} (x + 8)} x}{x + 8}$

解题步骤 5.3.7.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2 + 1}} x}{x + 8}$

解题步骤 5.3.7.3.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{3}} x}{x + 8}$

解题步骤 5.3.8

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{(x + 8) x}{x + 8}$

解题步骤 5.3.9

约去 $x + 8$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.9.1

约去公因数。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{(x + 8) x}{x + 8}$

解题步骤 5.3.9.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $s^{- 1} (s (x)) = x$ 和 $s (s^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $s^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8}$ 为 $s (x) = x (x^{2} - \frac{8}{x})$ 的反函数。

$s^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8}$

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