有限数学示例

$f (x) = \frac{- 2}{x} - 1$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{- 2}{x} - 1$ 写为等式。

$y = \frac{- 2}{x} - 1$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{- 2}{y} - 1$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{- 2}{y} - 1 = x$ 。

$\frac{- 2}{y} - 1 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$\frac{- 2}{y} = x + 1$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{y} = x + 1$

解题步骤 3.4

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.4.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y, 1, 1$

解题步骤 3.4.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y$

解题步骤 3.5

将 $- \frac{2}{y} = x + 1$ 中的每一项乘以 $y$ 以消去分数。

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解题步骤 3.5.1

将 $- \frac{2}{y} = x + 1$ 中的每一项乘以 $y$ 。

$- \frac{2}{y} y = x y + 1 y$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1

将 $- \frac{2}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 2}{y} y = x y + 1 y$

解题步骤 3.5.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 2}{y} y = x y + 1 y$

解题步骤 3.5.2.1.3

重写表达式。

$- 2 = x y + 1 y$

解题步骤 3.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$- 2 = x y + y$

解题步骤 3.6

求解方程。

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解题步骤 3.6.1

将方程重写为 $x y + y = - 2$ 。

$x y + y = - 2$

解题步骤 3.6.2

从 $x y + y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.6.2.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y x + y = - 2$

解题步骤 3.6.2.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y x + y = - 2$

解题步骤 3.6.2.3

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y x + y \cdot 1 = - 2$

解题步骤 3.6.2.4

从 $y x + y \cdot 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x + 1) = - 2$

解题步骤 3.6.3

将 $y (x + 1) = - 2$ 中的每一项除以 $x + 1$ 并化简。

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解题步骤 3.6.3.1

将 $y (x + 1) = - 2$ 中的每一项都除以 $x + 1$ 。

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2}{x + 1}$

解题步骤 3.6.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.3.2.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2}{x + 1}$

解题步骤 3.6.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 2}{x + 1}$

解题步骤 3.6.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.6.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{2}{x + 1}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = - \frac{2}{x + 1}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{2}{x + 1}$ 是否为 $f (x) = \frac{- 2}{x} - 1$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1)$ 。

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - \frac{2}{(\frac{- 2}{x} - 1) + 1}$

解题步骤 5.2.3

化简分母。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - \frac{2}{\frac{- 2}{x} + 0}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $\frac{- 2}{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - \frac{2}{\frac{- 2}{x}}$

解题步骤 5.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - \frac{2}{- \frac{2}{x}}$

解题步骤 5.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - (2 (- \frac{x}{2}))$

解题步骤 5.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $- \frac{x}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - (2 (\frac{- x}{2}))$

解题步骤 5.2.5.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - (2 (\frac{- x}{2}))$

解题步骤 5.2.5.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{2}{x + 1})$ 。

$f (- \frac{2}{x + 1}) = \frac{- 2}{- \frac{2}{x + 1}} - 1$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$f (- \frac{2}{x + 1}) = - 2 (- \frac{x + 1}{2}) - 1$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

将 $- \frac{x + 1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{2}{x + 1}) = - 2 \frac{- (x + 1)}{2} - 1$

解题步骤 5.3.3.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{2}{x + 1}) = 2 (- 1) (\frac{- (x + 1)}{2}) - 1$

解题步骤 5.3.3.2.3

约去公因数。

$f (- \frac{2}{x + 1}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- (x + 1)}{2}) - 1$

解题步骤 5.3.3.2.4

重写表达式。

$f (- \frac{2}{x + 1}) = (x + 1) - 1$

解题步骤 5.3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{2}{x + 1}) = 1 (x + 1) - 1$

解题步骤 5.3.3.4

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{2}{x + 1}) = x + 1 - 1$

解题步骤 5.3.4

合并 $x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (- \frac{2}{x + 1}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (- \frac{2}{x + 1}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{2}{x + 1}$ 为 $f (x) = \frac{- 2}{x} - 1$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{2}{x + 1}$

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