有限数学示例

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ 写为等式。

$y = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$

解题步骤 3.2

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})) = 2 x$

解题步骤 3.3

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

化简 $2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1

运用分配律。

$2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

解题步骤 3.3.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $5$ 。

$2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

解题步骤 3.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{y}$ 。

$2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

解题步骤 3.3.1.4

运用分配律。

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

解题步骤 3.3.1.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.5.1

约去公因数。

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

解题步骤 3.3.1.5.2

重写表达式。

$5 + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

解题步骤 3.3.1.6

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.6.1

将 $- \frac{e^{y}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

解题步骤 3.3.1.6.2

约去公因数。

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

解题步骤 3.3.1.6.3

重写表达式。

$5 - e^{y} = 2 x$

解题步骤 3.4

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- e^{y} = 2 x - 5$

解题步骤 3.5

将 $- e^{y} = 2 x - 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

将 $- e^{y} = 2 x - 5$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- e^{y}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{e^{y}}{1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 3.5.2.2

用 $e^{y}$ 除以 $1$ 。

$e^{y} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 3.5.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.3.1.1

移动 $\frac{2 x}{- 1}$ 中分母的负号。

$e^{y} = - 1 \cdot (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 3.5.3.1.2

将 $- 1 \cdot (2 x)$ 重写为 $- (2 x)$ 。

$e^{y} = - (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 3.5.3.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{y} = - 2 x + \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 3.5.3.1.4

用 $- 5$ 除以 $- 1$ 。

$e^{y} = - 2 x + 5$

解题步骤 3.6

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln (- 2 x + 5)$

解题步骤 3.7

展开左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln (- 2 x + 5)$

解题步骤 3.7.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \ln (- 2 x + 5)$

解题步骤 3.7.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (- 2 x + 5)$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x}))$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) + 5)$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

解题步骤 5.2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

解题步骤 5.2.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{x}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

解题步骤 5.2.3.4

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

解题步骤 5.2.3.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.5.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 (- 1) (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

解题步骤 5.2.3.5.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 \cdot (- 1 (\frac{5}{2})) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

解题步骤 5.2.3.5.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 1 \cdot 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

解题步骤 5.2.3.6

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

解题步骤 5.2.3.7

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.7.1

将 $- \frac{e^{x}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 \frac{- e^{x}}{2} + 5)$

解题步骤 5.2.3.7.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 (- 1) (\frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

解题步骤 5.2.3.7.3

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 \cdot (- 1 \frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

解题步骤 5.2.3.7.4

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 1 (- e^{x}) + 5)$

解题步骤 5.2.3.8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 1 e^{x} + 5)$

解题步骤 5.2.3.9

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + e^{x} + 5)$

解题步骤 5.2.4

合并 $- 5 + e^{x} + 5$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.1

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (0 + e^{x})$

解题步骤 5.2.4.2

将 $0$ 和 $e^{x}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (e^{x})$

解题步骤 5.2.5

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \ln (e)$

解题步骤 5.2.6

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \cdot 1$

解题步骤 5.2.7

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\ln (- 2 x + 5))$ 。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{\ln (- 2 x + 5)})$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x + 5))$

解题步骤 5.3.3.2

运用分配律。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x) - 1 \cdot 5)$

解题步骤 5.3.3.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 1 \cdot 5)$

解题步骤 5.3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 5)$

解题步骤 5.3.4

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.1

合并 $5 + 2 x - 5$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.1.1

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 0)$

解题步骤 5.3.4.1.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

解题步骤 5.3.4.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

解题步骤 5.3.4.2.2

约去公因数。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

解题步骤 5.3.4.2.3

重写表达式。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ 为 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$

有限数学 示例

有限数学示例