有限数学示例

2 x^{2} - 12 x + 3

$2 x^{2} - 12 x + 3$

解题步骤 1

交换变量。

x = 2 y^{2} - 12 y + 3

$x = 2 y^{2} - 12 y + 3$

解题步骤 2

求解

y

$y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为

2 y^{2} - 12 y + 3 = x

$2 y^{2} - 12 y + 3 = x$ 。

2 y^{2} - 12 y + 3 = x

$2 y^{2} - 12 y + 3 = x$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去

$x$ 。

$2 y^{2} - 12 y + 3 - x = 0$

解题步骤 2.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4

将

$a = 2$ 、

$b = - 12$ 和

$c = 3 - x$ 的值代入二次公式中并求解

$y$ 。

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (3 - x))}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1

对

$- 12$ 进行

$2$ 次方运算。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.1.2

将

$- 4$ 乘以

$2$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.1.3

运用分配律。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.1.4

将

$- 8$ 乘以

$3$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.1.5

将

$- 1$ 乘以

$- 8$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.1.6

从

$144$ 中减去

$24$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.1.7

从

$120 + 8 x$ 中分解出因数

$8$ 。

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解题步骤 2.5.1.7.1

从

$120$ 中分解出因数

$8$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.1.7.2

从

$8 \cdot 15 + 8 x$ 中分解出因数

$8$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.1.8

将

$8 (15 + x)$ 重写为

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ 。

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解题步骤 2.5.1.8.1

从

$8$ 中分解出因数

$4$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.1.8.2

将

$4$ 重写为

$2^{2}$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.1.8.3

添加圆括号。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

解题步骤 2.5.3

化简

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

解题步骤 2.6

化简表达式以求

$\pm$ 在

$+$ 部分的解。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对

$- 12$ 进行

$2$ 次方运算。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.1.2

将

$- 4$ 乘以

$2$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.1.3

运用分配律。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.1.4

将

$- 8$ 乘以

$3$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.1.5

将

$- 1$ 乘以

$- 8$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.1.6

从

$144$ 中减去

$24$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.1.7

从

$120 + 8 x$ 中分解出因数

$8$ 。

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解题步骤 2.6.1.7.1

从

$120$ 中分解出因数

$8$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.1.7.2

从

$8 \cdot 15 + 8 x$ 中分解出因数

$8$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.1.8

将

$8 (15 + x)$ 重写为

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ 。

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解题步骤 2.6.1.8.1

从

$8$ 中分解出因数

$4$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.1.8.2

将

$4$ 重写为

$2^{2}$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.1.8.3

添加圆括号。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.2

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

解题步骤 2.6.3

化简

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

解题步骤 2.6.4

将

$\pm$ 变换为

$+$ 。

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

解题步骤 2.7

化简表达式以求

$\pm$ 在

$-$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.1.1

对

$- 12$ 进行

$2$ 次方运算。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.7.1.2

将

$- 4$ 乘以

$2$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.7.1.3

运用分配律。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.7.1.4

将

$- 8$ 乘以

$3$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.7.1.5

将

$- 1$ 乘以

$- 8$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.7.1.6

从

$144$ 中减去

$24$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.7.1.7

从

$120 + 8 x$ 中分解出因数

$8$ 。

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解题步骤 2.7.1.7.1

从

$120$ 中分解出因数

$8$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.7.1.7.2

从

$8 \cdot 15 + 8 x$ 中分解出因数

$8$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.7.1.8

将

$8 (15 + x)$ 重写为

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ 。

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解题步骤 2.7.1.8.1

从

$8$ 中分解出因数

$4$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.7.1.8.2

将

$4$ 重写为

$2^{2}$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.7.1.8.3

添加圆括号。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.7.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.7.2

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

解题步骤 2.7.3

化简

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

解题步骤 2.7.4

将

$\pm$ 变换为

$-$ 。

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

解题步骤 2.8

最终答案为两个解的组合。

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

解题步骤 3

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

解题步骤 4

验证

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ 是否为

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ 和

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ 的值域。

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解题步骤 4.2.1

值域为全部有效

$y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[- 15, \infty)$

解题步骤 4.3

求

$\frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.1

将

$\sqrt{2 (15 + x)}$ 的被开方数设为大于或等于

$0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$2 (15 + x) \geq 0$

解题步骤 4.3.2

求解

$x$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

将

$2 (15 + x) \geq 0$ 中的每一项除以

$2$ 并化简。

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解题步骤 4.3.2.1.1

将

$2 (15 + x) \geq 0$ 中的每一项都除以

$2$ 。

$\frac{2 (15 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.1.2.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (15 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.2.1.2

用

$15 + x$ 除以

$1$ 。

$15 + x \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.1.3.1

用

$0$ 除以

$2$ 。

$15 + x \geq 0$

解题步骤 4.3.2.2

从不等式两边同时减去

$15$ 。

$x \geq - 15$

解题步骤 4.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值

$x$ 。

$[- 15, \infty)$

解题步骤 4.4

求

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ 的定义域。

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解题步骤 4.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4.5

由于

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ 的定义域为

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ 的值域，而

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ 的值域又为

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ 的定义域，因此

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ 为

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

解题步骤 5

有限数学 示例

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