有限数学示例

$n^{2}$

解题步骤 1

交换变量。

$n = y^{2}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $y^{2} = n$ 。

$y^{2} = n$

解题步骤 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{n}$

解题步骤 2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{n}$

解题步骤 2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{n}$

解题步骤 2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{n}, - \sqrt{n}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (n)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (n) = \sqrt{n}, - \sqrt{n}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (n) = \sqrt{n}, - \sqrt{n}$ 是否为 $f (n) = n^{2}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (n) = n^{2}$ 和 $f^{- 1} (n) = \sqrt{n}, - \sqrt{n}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $f (n) = n^{2}$ 的值域。

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解题步骤 4.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[0, \infty)$

解题步骤 4.3

求 $\sqrt{n}$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.1

将 $\sqrt{n}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$n \geq 0$

解题步骤 4.3.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $n$ 。

$[0, \infty)$

解题步骤 4.4

求 $f (n) = n^{2}$ 的定义域。

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解题步骤 4.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4.5

由于 $f^{- 1} (n) = \sqrt{n}, - \sqrt{n}$ 的定义域为 $f (n) = n^{2}$ 的值域，而 $f^{- 1} (n) = \sqrt{n}, - \sqrt{n}$ 的值域又为 $f (n) = n^{2}$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (n) = \sqrt{n}, - \sqrt{n}$ 为 $f (n) = n^{2}$ 的反函数。

$f^{- 1} (n) = \sqrt{n}, - \sqrt{n}$

解题步骤 5

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