有限数学示例

$\frac{x - 3}{3 x - 1} = \frac{x + 4}{2 x + 5}$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\frac{x + 4}{2 x + 5}$ 。

$\frac{x - 3}{3 x - 1} - \frac{x + 4}{2 x + 5} = 0$

解题步骤 2

化简 $\frac{x - 3}{3 x - 1} - \frac{x + 4}{2 x + 5}$ 。

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解题步骤 2.1

要将 $\frac{x - 3}{3 x - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ 。

$\frac{x - 3}{3 x - 1} \cdot \frac{2 x + 5}{2 x + 5} - \frac{x + 4}{2 x + 5} = 0$

解题步骤 2.2

要将 $- \frac{x + 4}{2 x + 5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ 。

$\frac{x - 3}{3 x - 1} \cdot \frac{2 x + 5}{2 x + 5} - \frac{x + 4}{2 x + 5} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} = 0$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(3 x - 1) (2 x + 5)$ 的形式。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{x - 3}{3 x - 1}$ 乘以 $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ 。

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} - \frac{x + 4}{2 x + 5} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{x + 4}{2 x + 5}$ 乘以 $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ 。

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} - \frac{(x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.3.3

重新排序 $(3 x - 1) (2 x + 5)$ 的因式。

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} - \frac{(x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{(x - 3) (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (2 x + 5)$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

运用分配律。

$\frac{x (2 x + 5) - 3 (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.1.2

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 3 (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.1.3

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.2.1.3

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 6 x - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.2.1.5

将 $- 3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 6 x - 15 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.2.2

从 $5 x$ 中减去 $6 x$ 。

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - x - 15 + (- x - 1 \cdot 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 x^{2} - x - 15 + (- x - 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.5

使用 FOIL 方法展开 $(- x - 4) (3 x - 1)$ 。

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解题步骤 2.5.5.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x - 1) - 4 (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.5.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.5.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 x \cdot x - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.6.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.6.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.6.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 x^{2} - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.6.1.4

乘以 $- x \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.5.6.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + 1 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.6.1.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.6.1.5

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 12 x - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.6.1.6

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 12 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.6.2

从 $x$ 中减去 $12 x$ 。

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} - 11 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.7

从 $2 x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} - x - 15 - 11 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.8

从 $- x$ 中减去 $11 x$ 。

$\frac{- x^{2} - 12 x - 15 + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.9

将 $- 15$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- x^{2} - 12 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.10

分组因式分解。

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解题步骤 2.5.10.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 11 = 11$ 并且它们的和为 $b = - 12$ 。

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解题步骤 2.5.10.1.1

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $- 12$ 。

$\frac{- x^{2} - 12 (x) - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.10.1.2

把 $- 12$ 重写为 $- 1$ 加 $- 11$

$\frac{- x^{2} + (- 1 - 11) x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.10.1.3

运用分配律。

$\frac{- x^{2} - 1 x - 11 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.10.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.5.10.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(- x^{2} - 1 x) - 11 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.10.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (- x - 1) + 11 (- x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.5.10.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(- x - 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.6

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (x) - 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.7

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.8

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 2.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

解题步骤 3

将 $\frac{(x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$(2 x + 5) (3 x - 1) = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x + 5 = 0$

$3 x - 1 = 0$

解题步骤 4.2

将 $2 x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $2 x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$2 x + 5 = 0$

解题步骤 4.2.2

求解 $x$ 的 $2 x + 5 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$2 x = - 5$

解题步骤 4.2.2.2

将 $2 x = - 5$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.2.1

将 $2 x = - 5$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 5}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{5}{2}$

解题步骤 4.3

将 $3 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $3 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 1 = 0$

解题步骤 4.3.2

求解 $x$ 的 $3 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$3 x = 1$

解题步骤 4.3.2.2

将 $3 x = 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 4.3.2.2.1

将 $3 x = 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 4.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 4.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{3}$

解题步骤 4.4

最终解为使 $(2 x + 5) (3 x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{5}{2}, \frac{1}{3}$

解题步骤 5

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - \frac{5}{2}, x = \frac{1}{3}$

解题步骤 6

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