有限数学示例

\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}

$\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}$

解题步骤 1

将

\frac{4}{x^{2}}

$\frac{4}{x^{2}}$ 的分母设为等于

0

$0$ ，以求使表达式无意义的区间。

x^{2} = 0

$x^{2} = 0$

解题步骤 2

求解

x

$x$ 。

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解题步骤 2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

x = \pm \sqrt{0}

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.2

化简

\pm \sqrt{0}

$\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.2.1

将

0

$0$ 重写为

0^{2}

$0^{2}$ 。

x = \pm \sqrt{0^{2}}

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

x = \pm 0

$x = \pm 0$

解题步骤 2.2.3

正负

0

$0$ 是

0

$0$ 。

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

解题步骤 3

将

\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}

$\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}$ 的分母设为等于

0

$0$ ，以求使表达式无意义的区间。

1 + \frac{4}{x} = 0

$1 + \frac{4}{x} = 0$

解题步骤 4

求解

x

$x$ 。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去

1

$1$ 。

\frac{4}{x} = - 1

$\frac{4}{x} = - 1$

解题步骤 4.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 4.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

x, 1

$x, 1$

解题步骤 4.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

x

$x$

x

$x$

解题步骤 4.3

将

\frac{4}{x} = - 1

$\frac{4}{x} = - 1$ 中的每一项乘以

x

$x$ 以消去分数。

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解题步骤 4.3.1

将

\frac{4}{x} = - 1

$\frac{4}{x} = - 1$ 中的每一项乘以

x

$x$ 。

\frac{4}{x} x = - x

$\frac{4}{x} x = - x$

解题步骤 4.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.1

约去

x

$x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.1

约去公因数。

\frac{4}{x} x = - x

$\frac{4}{x} x = - x$

解题步骤 4.3.2.1.2

重写表达式。

4 = - x

$4 = - x$

4 = - x

$4 = - x$

4 = - x

$4 = - x$

4 = - x

$4 = - x$

解题步骤 4.4

求解方程。

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解题步骤 4.4.1

将方程重写为

- x = 4

$- x = 4$ 。

- x = 4

$- x = 4$

解题步骤 4.4.2

将

- x = 4

$- x = 4$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.4.2.1

将

- x = 4

$- x = 4$ 中的每一项都除以

- 1

$- 1$ 。

\frac{- x}{- 1} = \frac{4}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

解题步骤 4.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.4.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

\frac{x}{1} = \frac{4}{- 1}

$\frac{x}{1} = \frac{4}{- 1}$

解题步骤 4.4.2.2.2

用

x

$x$ 除以

1

$1$ 。

x = \frac{4}{- 1}

$x = \frac{4}{- 1}$

x = \frac{4}{- 1}

$x = \frac{4}{- 1}$

解题步骤 4.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.3.1

用

4

$4$ 除以

- 1

$- 1$ 。

x = - 4

$x = - 4$

x = - 4

$x = - 4$

x = - 4

$x = - 4$

x = - 4

$x = - 4$

x = - 4

$x = - 4$

解题步骤 5

将

\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}

$\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}$ 的被开方数设为小于

0

$0$ ，以求使表达式无意义的区间。

1 + \frac{4}{x^{2}} < 0

$1 + \frac{4}{x^{2}} < 0$

解题步骤 6

求解

x

$x$ 。

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解题步骤 6.1

从不等式两边同时减去

1

$1$ 。

\frac{4}{x^{2}} < - 1

$\frac{4}{x^{2}} < - 1$

解题步骤 6.2

两边同时乘以

x^{2}

$x^{2}$ 。

\frac{4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}

$\frac{4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

解题步骤 6.3

化简左边。

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解题步骤 6.3.1

约去

x^{2}

$x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1

约去公因数。

\frac{4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}

$\frac{4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

解题步骤 6.3.1.2

重写表达式。

4 = - x^{2}

$4 = - x^{2}$

4 = - x^{2}

$4 = - x^{2}$

4 = - x^{2}

$4 = - x^{2}$

解题步骤 6.4

求解

x

$x$ 。

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解题步骤 6.4.1

将方程重写为

- x^{2} = 4

$- x^{2} = 4$ 。

- x^{2} = 4

$- x^{2} = 4$

解题步骤 6.4.2

将

- x^{2} = 4

$- x^{2} = 4$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.4.2.1

将

- x^{2} = 4

$- x^{2} = 4$ 中的每一项都除以

- 1

$- 1$ 。

\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

解题步骤 6.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

解题步骤 6.4.2.2.2

用

x^{2}

$x^{2}$ 除以

1

$1$ 。

x^{2} = \frac{4}{- 1}

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

x^{2} = \frac{4}{- 1}

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

解题步骤 6.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.3.1

用

4

$4$ 除以

- 1

$- 1$ 。

x^{2} = - 4

$x^{2} = - 4$

x^{2} = - 4

$x^{2} = - 4$

x^{2} = - 4

$x^{2} = - 4$

解题步骤 6.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

x = \pm \sqrt{- 4}

$x = \pm \sqrt{- 4}$

解题步骤 6.4.4

化简

\pm \sqrt{- 4}

$\pm \sqrt{- 4}$ 。

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解题步骤 6.4.4.1

将

- 4

$- 4$ 重写为

- 1 (4)

$- 1 (4)$ 。

x = \pm \sqrt{- 1 (4)}

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

解题步骤 6.4.4.2

将

\sqrt{- 1 (4)}

$\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 6.4.4.3

将

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ 重写为

i

$i$ 。

x = \pm i \cdot \sqrt{4}

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 6.4.4.4

将

4

$4$ 重写为

2^{2}

$2^{2}$ 。

x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 6.4.4.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

x = \pm i \cdot 2

$x = \pm i \cdot 2$

解题步骤 6.4.4.6

将

2

$2$ 移到

i

$i$ 的左侧。

x = \pm 2 i

$x = \pm 2 i$

x = \pm 2 i

$x = \pm 2 i$

解题步骤 6.4.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.4.5.1

首先，利用

\pm

$\pm$ 的正值求第一个解。

x = 2 i

$x = 2 i$

解题步骤 6.4.5.2

下一步，使用

\pm

$\pm$ 的负值来求第二个解。

x = - 2 i

$x = - 2 i$

解题步骤 6.4.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

x = 2 i, - 2 i

$x = 2 i, - 2 i$

x = 2 i, - 2 i

$x = 2 i, - 2 i$

x = 2 i, - 2 i

$x = 2 i, - 2 i$

解题步骤 6.5

求

1 + \frac{4}{x^{2}}

$1 + \frac{4}{x^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 6.5.1

将

\frac{4}{x^{2}}

$\frac{4}{x^{2}}$ 的分母设为等于

0

$0$ ，以求使表达式无意义的区间。

x^{2} = 0

$x^{2} = 0$

解题步骤 6.5.2

求解

x

$x$ 。

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解题步骤 6.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

x = \pm \sqrt{0}

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 6.5.2.2

化简

\pm \sqrt{0}

$\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 6.5.2.2.1

将

0

$0$ 重写为

0^{2}

$0^{2}$ 。

x = \pm \sqrt{0^{2}}

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 6.5.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

x = \pm 0

$x = \pm 0$

解题步骤 6.5.2.2.3

正负

0

$0$ 是

0

$0$ 。

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

解题步骤 6.5.3

定义域为使表达式有定义的所有值

x

$x$ 。

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 6.6

使用每一个根建立验证区间。

x < 0

$x < 0$

x > 0

$x > 0$

解题步骤 6.7

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 6.7.1

检验区间

x < 0

$x < 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 6.7.1.1

选择区间

x < 0

$x < 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

x = - 2

$x = - 2$

解题步骤 6.7.1.2

使用原不等式中的

- 2

$- 2$ 替换

x

$x$ 。

1 + \frac{4}{{(- 2)}^{2}} < 0

$1 + \frac{4}{{(- 2)}^{2}} < 0$

解题步骤 6.7.1.3

左边的

2

$2$ 不小于右边的

0

$0$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 6.7.2

检验区间

x > 0

$x > 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 6.7.2.1

选择区间

x > 0

$x > 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

x = 2

$x = 2$

解题步骤 6.7.2.2

使用原不等式中的

2

$2$ 替换

x

$x$ 。

1 + \frac{4}{{(2)}^{2}} < 0

$1 + \frac{4}{{(2)}^{2}} < 0$

解题步骤 6.7.2.3

左边的

2

$2$ 不小于右边的

0

$0$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 6.7.3

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

x < 0

$x < 0$ 为假

x > 0

$x > 0$ 为假

x < 0

$x < 0$ 为假

x > 0

$x > 0$ 为假

解题步骤 6.8

因为没有任何数处于区间内，所以此不等式无解。

无解

解题步骤 7

方程在分母等于

0

$0$ 时无定义，平方根的自变量小于

0

$0$ 或者对数的自变量小于或等于

0

$0$ 。

x = - 4, x = 0

$x = - 4, x = 0$

解题步骤 8

有限数学 示例

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