有限数学示例

$x^{\frac{2}{7}} - 43 x^{\frac{1}{7}} = - 42$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $42$ 。

$x^{\frac{2}{7}} - 43 x^{\frac{1}{7}} + 42 = 0$

解题步骤 2

将 $x^{\frac{2}{7}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{7}})}^{2}$ 。

${(x^{\frac{1}{7}})}^{2} - 43 x^{\frac{1}{7}} + 42 = 0$

解题步骤 3

使 $u = x^{\frac{1}{7}}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{\frac{1}{7}}$ 。

$u^{2} - 43 u + 42 = 0$

解题步骤 4

使用 AC 法来对 $u^{2} - 43 u + 42$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $42$ ，和为 $- 43$ 。

$- 42, - 1$

解题步骤 4.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 42) (u - 1) = 0$

解题步骤 5

使用 $x^{\frac{1}{7}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{\frac{1}{7}} - 42) (x^{\frac{1}{7}} - 1) = 0$

解题步骤 6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{7}} - 42 = 0$

$x^{\frac{1}{7}} - 1 = 0$

解题步骤 7

将 $x^{\frac{1}{7}} - 42$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $x^{\frac{1}{7}} - 42$ 设为等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{7}} - 42 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $x^{\frac{1}{7}} - 42 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $42$ 。

$x^{\frac{1}{7}} = 42$

解题步骤 7.2.2

将方程两边同时进行 $7$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = 42^{7}$

解题步骤 7.2.3

化简指数。

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解题步骤 7.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.3.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 42^{7}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 42^{7}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 42^{7}$

解题步骤 7.2.3.1.1.2

化简。

$x = 42^{7}$

解题步骤 7.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.2.1

对 $42$ 进行 $7$ 次方运算。

$x = 230539333248$

解题步骤 8

将 $x^{\frac{1}{7}} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将 $x^{\frac{1}{7}} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{7}} - 1 = 0$

解题步骤 8.2

求解 $x$ 的 $x^{\frac{1}{7}} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{\frac{1}{7}} = 1$

解题步骤 8.2.2

将方程两边同时进行 $7$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = 1^{7}$

解题步骤 8.2.3

化简指数。

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解题步骤 8.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.3.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ 。

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解题步骤 8.2.3.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 1^{7}$

解题步骤 8.2.3.1.1.1.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 1^{7}$

解题步骤 8.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 1^{7}$

解题步骤 8.2.3.1.1.2

化简。

$x = 1^{7}$

解题步骤 8.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.2.1

一的任意次幂都为一。

$x = 1$

解题步骤 9

最终解为使 $(x^{\frac{1}{7}} - 42) (x^{\frac{1}{7}} - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 230539333248, 1$

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