有限数学示例

\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}} = 16

$\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}} = 16$

解题步骤 1

从等式两边同时减去

$16$ 。

$\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}} - 16 = 0$

解题步骤 2

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}}$ 重写成

${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ 。

${(x + 2)}^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

解题步骤 3

将

${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ 重写为

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 。

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 16 = 0$

解题步骤 4

将

$16$ 重写为

$4^{2}$ 。

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4^{2} = 0$

解题步骤 5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中

$a = {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ 和

$b = 4$ 。

$({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4) ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$

解题步骤 6

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

解题步骤 7

将

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 7.1

将

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4$ 设为等于

$0$ 。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

解题步骤 7.2

求解

$x$ 的

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去

$4$ 。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = - 4$

解题步骤 7.2.2

将方程两边同时进行

$3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 4)}^{3}$

解题步骤 7.2.3

化简指数。

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解题步骤 7.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.3.1.1

化简

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1

将

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.2

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

${(x + 2)}^{1} = {(- 4)}^{3}$

解题步骤 7.2.3.1.1.2

化简。

$x + 2 = {(- 4)}^{3}$

解题步骤 7.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.2.1

对

$- 4$ 进行

$3$ 次方运算。

$x + 2 = - 64$

解题步骤 7.2.4

将所有不包含

$x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.2.4.1

从等式两边同时减去

$2$ 。

$x = - 64 - 2$

解题步骤 7.2.4.2

从

$- 64$ 中减去

$2$ 。

$x = - 66$

解题步骤 8

将

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 8.1

将

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4$ 设为等于

$0$ 。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

解题步骤 8.2

求解

$x$ 的

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

在等式两边都加上

$4$ 。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = 4$

解题步骤 8.2.2

将方程两边同时进行

$3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 4^{3}$

解题步骤 8.2.3

化简指数。

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解题步骤 8.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.3.1.1

化简

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 8.2.3.1.1.1

将

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

解题步骤 8.2.3.1.1.1.2

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

解题步骤 8.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

${(x + 2)}^{1} = 4^{3}$

解题步骤 8.2.3.1.1.2

化简。

$x + 2 = 4^{3}$

解题步骤 8.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.2.1

对

$4$ 进行

$3$ 次方运算。

$x + 2 = 64$

解题步骤 8.2.4

将所有不包含

$x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 8.2.4.1

从等式两边同时减去

$2$ 。

$x = 64 - 2$

解题步骤 8.2.4.2

从

$64$ 中减去

$2$ 。

$x = 62$

解题步骤 9

最终解为使

$({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4) ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 66, 62$

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