有限数学示例

$\sqrt{3 y + 9} - \sqrt{y + 16} = 1$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sqrt{3 y + 9} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

解题步骤 2

从 $3 y + 9$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.1

从 $3 y$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sqrt{3 (y) + 9} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

解题步骤 2.2

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sqrt{3 y + 3 \cdot 3} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

解题步骤 2.3

从 $3 y + 3 \cdot 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sqrt{3 (y + 3)} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

解题步骤 3

将所有不包含 $\sqrt{3 (y + 3)}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1

在等式两边都加上 $\sqrt{y + 16}$ 。

$\sqrt{3 (y + 3)} - 1 = \sqrt{y + 16}$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$\sqrt{3 (y + 3)} = \sqrt{y + 16} + 1$

解题步骤 4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{3 (y + 3)}}^{2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 (y + 3)}$ 重写成 ${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 ${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

将 ${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(3 (y + 3))}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

运用分配律。

${(3 y + 3 \cdot 3)}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

乘。

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解题步骤 5.2.1.3.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

${(3 y + 9)}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.2

化简。

$3 y + 9 = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

化简 ${(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

将 ${(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$ 重写为 $(\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$ 。

$3 y + 9 = (\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$

解题步骤 5.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

运用分配律。

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} (\sqrt{y + 16} + 1) + 1 (\sqrt{y + 16} + 1)$

解题步骤 5.3.1.2.2

运用分配律。

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 (\sqrt{y + 16} + 1)$

解题步骤 5.3.1.2.3

运用分配律。

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.3.1.1

乘以 $\sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16}$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.1.1

对 $\sqrt{y + 16}$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.3.1.1.2

对 $\sqrt{y + 16}$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1} {\sqrt{y + 16}}^{1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1 + 1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.3.1.2

将 ${\sqrt{y + 16}}^{2}$ 重写为 $y + 16$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y + 16}$ 重写成 ${(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 y + 9 = {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.3.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.3.1.2.4.1

约去公因数。

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.3.1.2.4.2

重写表达式。

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.3.1.2.5

化简。

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.3.1.3

将 $\sqrt{y + 16}$ 乘以 $1$ 。

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.3.1.4

将 $\sqrt{y + 16}$ 乘以 $1$ 。

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.3.1.5

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} + 1$

解题步骤 5.3.1.3.2

将 $16$ 和 $1$ 相加。

$3 y + 9 = y + 17 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16}$

解题步骤 5.3.1.3.3

将 $\sqrt{y + 16}$ 和 $\sqrt{y + 16}$ 相加。

$3 y + 9 = y + 17 + 2 \sqrt{y + 16}$

解题步骤 6

求解 $2 \sqrt{y + 16}$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $y + 17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9$ 。

$y + 17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9$

解题步骤 6.2

将所有不包含 $2 \sqrt{y + 16}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9 - y$

解题步骤 6.2.2

从等式两边同时减去 $17$ 。

$2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9 - y - 17$

解题步骤 6.2.3

从 $3 y$ 中减去 $y$ 。

$2 \sqrt{y + 16} = 2 y + 9 - 17$

解题步骤 6.2.4

从 $9$ 中减去 $17$ 。

$2 \sqrt{y + 16} = 2 y - 8$

解题步骤 7

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{y + 16})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

解题步骤 8

化简方程的两边。

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解题步骤 8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y + 16}$ 重写成 ${(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

化简 ${(2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.3

将 ${({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y - 8)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y - 8)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 {(y + 16)}^{1} = {(2 y - 8)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.4

化简。

$4 (y + 16) = {(2 y - 8)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.5

运用分配律。

$4 y + 4 \cdot 16 = {(2 y - 8)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.6

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$4 y + 64 = {(2 y - 8)}^{2}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简 ${(2 y - 8)}^{2}$ 。

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解题步骤 8.3.1.1

将 ${(2 y - 8)}^{2}$ 重写为 $(2 y - 8) (2 y - 8)$ 。

$4 y + 64 = (2 y - 8) (2 y - 8)$

解题步骤 8.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 y - 8) (2 y - 8)$ 。

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解题步骤 8.3.1.2.1

运用分配律。

$4 y + 64 = 2 y (2 y - 8) - 8 (2 y - 8)$

解题步骤 8.3.1.2.2

运用分配律。

$4 y + 64 = 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y - 8)$

解题步骤 8.3.1.2.3

运用分配律。

$4 y + 64 = 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

解题步骤 8.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

解题步骤 8.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 8.3.1.3.1.2.1

移动 $y$ 。

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

解题步骤 8.3.1.3.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 y^{2} + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

解题步骤 8.3.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 y + 64 = 4 y^{2} + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

解题步骤 8.3.1.3.1.4

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

解题步骤 8.3.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 16 y - 8 \cdot - 8$

解题步骤 8.3.1.3.1.6

将 $- 8$ 乘以 $- 8$ 。

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 16 y + 64$

解题步骤 8.3.1.3.2

从 $- 16 y$ 中减去 $16 y$ 。

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 32 y + 64$

解题步骤 9

求解 $y$ 。

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解题步骤 9.1

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$4 y^{2} - 32 y + 64 = 4 y + 64$

解题步骤 9.2

将所有包含 $y$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去 $4 y$ 。

$4 y^{2} - 32 y + 64 - 4 y = 64$

解题步骤 9.2.2

从 $- 32 y$ 中减去 $4 y$ 。

$4 y^{2} - 36 y + 64 = 64$

解题步骤 9.3

从等式两边同时减去 $64$ 。

$4 y^{2} - 36 y + 64 - 64 = 0$

解题步骤 9.4

合并 $4 y^{2} - 36 y + 64 - 64$ 中相反的项。

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解题步骤 9.4.1

从 $64$ 中减去 $64$ 。

$4 y^{2} - 36 y + 0 = 0$

解题步骤 9.4.2

将 $4 y^{2} - 36 y$ 和 $0$ 相加。

$4 y^{2} - 36 y = 0$

解题步骤 9.5

从 $4 y^{2} - 36 y$ 中分解出因数 $4 y$ 。

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解题步骤 9.5.1

从 $4 y^{2}$ 中分解出因数 $4 y$ 。

$4 y (y) - 36 y = 0$

解题步骤 9.5.2

从 $- 36 y$ 中分解出因数 $4 y$ 。

$4 y (y) + 4 y (- 9) = 0$

解题步骤 9.5.3

从 $4 y (y) + 4 y (- 9)$ 中分解出因数 $4 y$ 。

$4 y (y - 9) = 0$

解题步骤 9.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$y = 0$

$y - 9 = 0$

解题步骤 9.7

将 $y$ 设为等于 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 9.8

将 $y - 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 9.8.1

将 $y - 9$ 设为等于 $0$ 。

$y - 9 = 0$

解题步骤 9.8.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$y = 9$

解题步骤 9.9

最终解为使 $4 y (y - 9) = 0$ 成立的所有值。

$y = 0, 9$

解题步骤 10

排除不能使 $\sqrt{3 (y + 3)} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$ 成立的解。

$y = 9$

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