有限数学示例

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) = \log_{7} (24)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\log_{7} (24)$ 。

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) - \log_{7} (24) = 0$

解题步骤 2

化简 $\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) - \log_{7} (24)$ 。

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解题步骤 2.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{7} (x (x - 2)) - \log_{7} (24) = 0$

解题步骤 2.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{7} (\frac{x (x - 2)}{24}) = 0$

解题步骤 3

使用对数的定义将 $\log_{7} (\frac{x (x - 2)}{24}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$7^{0} = \frac{x (x - 2)}{24}$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{x (x - 2)}{24} = 7^{0}$ 。

$\frac{x (x - 2)}{24} = 7^{0}$

解题步骤 4.2

等式两边同时乘以 $24$ 。

$24 \frac{x (x - 2)}{24} = 24 \cdot 7^{0}$

解题步骤 4.3

化简方程的两边。

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解题步骤 4.3.1

化简左边。

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解题步骤 4.3.1.1

化简 $24 \frac{x (x - 2)}{24}$ 。

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解题步骤 4.3.1.1.1

约去 $24$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1.1.1

约去公因数。

$24 \frac{x (x - 2)}{24} = 24 \cdot 7^{0}$

解题步骤 4.3.1.1.1.2

重写表达式。

$x (x - 2) = 24 \cdot 7^{0}$

解题步骤 4.3.1.1.2

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 2 = 24 \cdot 7^{0}$

解题步骤 4.3.1.1.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1.1.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot - 2 = 24 \cdot 7^{0}$

解题步骤 4.3.1.1.3.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 2 x = 24 \cdot 7^{0}$

解题步骤 4.3.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.1

化简 $24 \cdot 7^{0}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{2} - 2 x = 24 \cdot 1$

解题步骤 4.3.2.1.2

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - 2 x = 24$

解题步骤 4.4

从等式两边同时减去 $24$ 。

$x^{2} - 2 x - 24 = 0$

解题步骤 4.5

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 24$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 24$ ，和为 $- 2$ 。

$- 6, 4$

解题步骤 4.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 6) (x + 4) = 0$

解题步骤 4.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 4.7

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.7.1

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 4.7.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 4.8

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.8.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 4.8.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 4.9

最终解为使 $(x - 6) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 6, - 4$

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