有限数学示例

$2^{2 x} - 2^{x + 2} - 12 = 0$

解题步骤 1

重新排序项。

$2^{2 x} - 12 - 2^{x + 2} = 0$

解题步骤 2

将 $2^{x + 2}$ 重写为 $2^{x} \cdot 2^{2}$ 。

$2^{2 x} - 12 - (2^{x} \cdot 2^{2}) = 0$

解题步骤 3

将 $2^{2 x}$ 重写为乘方形式。

${(2^{x})}^{2} - 12 - (2^{x} \cdot 2^{2}) = 0$

解题步骤 4

去掉圆括号。

${(2^{x})}^{2} - 12 - 2^{x} \cdot 2^{2} = 0$

解题步骤 5

代入 $u$ 替换 $2^{x}$ 。

$u^{2} - 12 - u \cdot 2^{2} = 0$

解题步骤 6

化简每一项。

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解题步骤 6.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u^{2} - 12 - u \cdot 4 = 0$

解题步骤 6.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$u^{2} - 12 - 4 u = 0$

$u^{2} - 12 - 4 u = 0$

解题步骤 7

移动 $- 12$ 。

$u^{2} - 4 u - 12 = 0$

解题步骤 8

求解 $u$ 。

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解题步骤 8.1

使用 AC 法来对 $u^{2} - 4 u - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 8.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $- 4$ 。

$- 6, 2$

解题步骤 8.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 6) (u + 2) = 0$

$(u - 6) (u + 2) = 0$

解题步骤 8.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 6 = 0$

$u + 2 = 0$

解题步骤 8.3

将 $u - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 8.3.1

将 $u - 6$ 设为等于 $0$ 。

$u - 6 = 0$

解题步骤 8.3.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$u = 6$

$u = 6$

解题步骤 8.4

将 $u + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 8.4.1

将 $u + 2$ 设为等于 $0$ 。

$u + 2 = 0$

解题步骤 8.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$u = - 2$

$u = - 2$

解题步骤 8.5

最终解为使 $(u - 6) (u + 2) = 0$ 成立的所有值。

$u = 6, - 2$

$u = 6, - 2$

解题步骤 9

代入 $6$ 替换 $u = 2^{x}$ 中的 $u$ 。

$6 = 2^{x}$

解题步骤 10

求解 $6 = 2^{x}$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $2^{x} = 6$ 。

$2^{x} = 6$

解题步骤 10.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2^{x}) = \ln (6)$

解题步骤 10.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{x})$ 。

$x \ln (2) = \ln (6)$

解题步骤 10.4

将 $x \ln (2) = \ln (6)$ 中的每一项除以 $\ln (2)$ 并化简。

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解题步骤 10.4.1

将 $x \ln (2) = \ln (6)$ 中的每一项都除以 $\ln (2)$ 。

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

解题步骤 10.4.2

化简左边。

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解题步骤 10.4.2.1

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

解题步骤 10.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

解题步骤 11

代入 $- 2$ 替换 $u = 2^{x}$ 中的 $u$ 。

$- 2 = 2^{x}$

解题步骤 12

求解 $- 2 = 2^{x}$ 。

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解题步骤 12.1

将方程重写为 $2^{x} = - 2$ 。

$2^{x} = - 2$

解题步骤 12.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2^{x}) = \ln (- 2)$

解题步骤 12.3

因为 $\ln (- 2)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 12.4

$2^{x} = - 2$ 无解

无解

无解

解题步骤 13

列出使方程成立的解。

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$