有限数学示例

$5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$

解题步骤 1

将 $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

使用有理根检验法因式分解 $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ 。

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解题步骤 2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 5$

解题步骤 2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 5$

解题步骤 2.1.3

代入 $- 5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 5$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $- 5$ 代入多项式。

$5 {(- 5)}^{3} + 27 {(- 5)}^{2} + 11 \cdot - 5 + 5$

解题步骤 2.1.3.2

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$5 \cdot - 125 + 27 {(- 5)}^{2} + 11 \cdot - 5 + 5$

解题步骤 2.1.3.3

将 $5$ 乘以 $- 125$ 。

$- 625 + 27 {(- 5)}^{2} + 11 \cdot - 5 + 5$

解题步骤 2.1.3.4

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 625 + 27 \cdot 25 + 11 \cdot - 5 + 5$

解题步骤 2.1.3.5

将 $27$ 乘以 $25$ 。

$- 625 + 675 + 11 \cdot - 5 + 5$

解题步骤 2.1.3.6

将 $- 625$ 和 $675$ 相加。

$50 + 11 \cdot - 5 + 5$

解题步骤 2.1.3.7

将 $11$ 乘以 $- 5$ 。

$50 - 55 + 5$

解题步骤 2.1.3.8

从 $50$ 中减去 $55$ 。

$- 5 + 5$

解题步骤 2.1.3.9

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$0$

解题步骤 2.1.4

因为 $- 5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 5$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5}{x + 5}$

解题步骤 2.1.5

用 $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ 除以 $x + 5$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$5$

$5 x^{3}$

$27 x^{2}$

$11 x$

$5$

解题步骤 2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $5 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$

解题步骤 2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			+	$5 x^{3}$	+	$25 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $5 x^{3} + 25 x^{2}$ 中的所有符号

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$

解题步骤 2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$

解题步骤 2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$

解题步骤 2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{2} + 10 x$ 中的所有符号

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$

解题步骤 2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$

解题步骤 2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$

解题步骤 2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$

解题步骤 2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$
							+	$x$	+	$5$

解题步骤 2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x + 5$ 中的所有符号

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$
							-	$x$	-	$5$

解题步骤 2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$
							-	$x$	-	$5$
										$0$

解题步骤 2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$5 x^{2} + 2 x + 1$

解题步骤 2.1.6

将 $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ 书写为因数的集合。

$(x + 5) (5 x^{2} + 2 x + 1) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

$5 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 2.4

将 $5 x^{2} + 2 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $5 x^{2} + 2 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$5 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $5 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $a = 5$ 、 $b = 2$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 1)}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.4.2.3

化简。

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解题步骤 2.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 5 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2.2

将 $- 20$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.4.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $20$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.4.2.3.1.4

将 $- 16$ 重写为 $- 1 (16)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (16)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.4.2.3.1.7

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.4.2.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.4.2.3.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{10}$

解题步骤 2.4.2.3.3

化简 $\frac{- 2 \pm 4 i}{10}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm 2 i}{5}$

解题步骤 2.4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5}, - \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5}$

解题步骤 2.5

最终解为使 $(x + 5) (5 x^{2} + 2 x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 5, - \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5}, - \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5}$

解题步骤 3

有限数学 示例

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