有限数学示例

$x^{4} - 11 x^{2} + 30 = 0$

解题步骤 1

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$u^{2} - 11 u + 30 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $u^{2} - 11 u + 30$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $30$ ，和为 $- 11$ 。

$- 6, - 5$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 6) (u - 5) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 6 = 0$

$u - 5 = 0$

解题步骤 4

将 $u - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.1

将 $u - 6$ 设为等于 $0$ 。

$u - 6 = 0$

解题步骤 4.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$u = 6$

解题步骤 5

将 $u - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.1

将 $u - 5$ 设为等于 $0$ 。

$u - 5 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$u = 5$

解题步骤 6

最终解为使 $(u - 6) (u - 5) = 0$ 成立的所有值。

$u = 6, 5$

解题步骤 7

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = 6$

${(x^{2})}^{1} = 5$

解题步骤 8

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = 6$

解题步骤 9

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 9.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{6}$

解题步骤 9.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 9.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{6}$

解题步骤 9.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{6}$

解题步骤 9.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

解题步骤 10

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = 5$

解题步骤 11

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$x^{2} = 5$

解题步骤 11.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{5}$

解题步骤 11.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 11.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 11.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{5}$

解题步骤 11.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

解题步骤 12

$x^{4} - 11 x^{2} + 30 = 0$ 的解是 $x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ 。

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

小数形式：

$x = 2.44948974 \dots, - 2.44948974 \dots, 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$

解题步骤 14

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