有限数学示例

$\frac{7}{x^{2} - 9} + \frac{6}{x^{2} - 7 x + 12} - \frac{5}{x^{2} - x - 12}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

化简分母。

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解题步骤 1.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{7}{x^{2} - 3^{2}} + \frac{6}{x^{2} - 7 x + 12} - \frac{5}{x^{2} - x - 12}$

解题步骤 1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{7}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{x^{2} - 7 x + 12} - \frac{5}{x^{2} - x - 12}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 7 x + 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $12$ ，和为 $- 7$ 。

$- 4, - 3$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{7}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x - 4) (x - 3)} - \frac{5}{x^{2} - x - 12}$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $- 1$ 。

$- 4, 3$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{7}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x - 4) (x - 3)} - \frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$

解题步骤 2

求公分母。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{7}{(x + 3) (x - 3)}$ 乘以 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 。

$\frac{7}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{6}{(x - 4) (x - 3)} - \frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{7}{(x + 3) (x - 3)}$ 乘以 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 。

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6}{(x - 4) (x - 3)} - \frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{6}{(x - 4) (x - 3)}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6}{(x - 4) (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{6}{(x - 4) (x - 3)}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6 (x + 3)}{(x - 4) (x - 3) (x + 3)} - \frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$

解题步骤 2.5

将 $\frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$ 乘以 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 。

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6 (x + 3)}{(x - 4) (x - 3) (x + 3)} - (\frac{5}{(x - 4) (x + 3)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3})$

解题步骤 2.6

将 $\frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$ 乘以 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 。

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6 (x + 3)}{(x - 4) (x - 3) (x + 3)} - \frac{5 (x - 3)}{(x - 4) (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 2.7

重新排序 $(x - 4) (x - 3) (x + 3)$ 的因式。

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6 (x + 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} - \frac{5 (x - 3)}{(x - 4) (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 2.8

重新排序 $(x - 4) (x + 3) (x - 3)$ 的因式。

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6 (x + 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} - \frac{5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

解题步骤 3

在公分母上合并分子。

$\frac{7 (x - 4) + 6 (x + 3) - 5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{7 x + 7 \cdot - 4 + 6 (x + 3) - 5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

解题步骤 4.2

将 $7$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{7 x - 28 + 6 (x + 3) - 5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{7 x - 28 + 6 x + 6 \cdot 3 - 5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

解题步骤 4.4

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{7 x - 28 + 6 x + 18 - 5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

解题步骤 4.5

运用分配律。

$\frac{7 x - 28 + 6 x + 18 - 5 x - 5 \cdot - 3}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

解题步骤 4.6

将 $- 5$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{7 x - 28 + 6 x + 18 - 5 x + 15}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

解题步骤 5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.1

将 $7 x$ 和 $6 x$ 相加。

$\frac{13 x - 28 + 18 - 5 x + 15}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

解题步骤 5.2

从 $13 x$ 中减去 $5 x$ 。

$\frac{8 x - 28 + 18 + 15}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

解题步骤 5.3

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 28$ 和 $18$ 相加。

$\frac{8 x - 10 + 15}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

解题步骤 5.3.2

将 $- 10$ 和 $15$ 相加。

$\frac{8 x + 5}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

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