有限数学示例

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$

解题步骤 1

将 $\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

解题步骤 2

合并分数。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ 。

$\frac{(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{{\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{10} + \sqrt{10} - {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

$\frac{(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 3.1.1

运用分配律。

$\frac{2 \sqrt{2} (\sqrt{5} - \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.1.2

运用分配律。

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.1.3

运用分配律。

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

乘以 $2 \sqrt{2} \sqrt{5}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 \sqrt{5 \cdot 2} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.1.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.2

乘以 $2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.3.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.3.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \cdot 2^{1} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.3.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.5

乘以 $2 \sqrt{5} \sqrt{5}$ 。

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解题步骤 3.2.1.5.1

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.5.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 {\sqrt{5}}^{2} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 3.2.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.6.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \cdot 5^{1} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.6.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \cdot 5 + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.7

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 10 + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.8

乘以 $2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 10 - 2 \sqrt{5} \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 3.2.1.8.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 10 - 2 \sqrt{2 \cdot 5}}{3}$

解题步骤 3.2.1.8.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 10 - 2 \sqrt{10}}{3}$

解题步骤 3.2.2

从 $2 \sqrt{10}$ 中减去 $2 \sqrt{10}$ 。

$\frac{0 - 4 + 10}{3}$

解题步骤 3.2.3

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- 4 + 10}{3}$

解题步骤 3.2.4

将 $- 4$ 和 $10$ 相加。

$\frac{6}{3}$

解题步骤 4

用 $6$ 除以 $3$ 。

$2$

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