有限数学示例

$\sqrt{7 x + 1} = 1 + \sqrt{5 x}$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{7 x + 1}}^{2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7 x + 1}$ 重写成 ${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(7 x + 1)}^{1} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$7 x + 1 = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简 ${(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 ${(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$ 。

$7 x + 1 = (1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$

解题步骤 2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$7 x + 1 = 1 (1 + \sqrt{5 x}) + \sqrt{5 x} (1 + \sqrt{5 x})$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用分配律。

$7 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} (1 + \sqrt{5 x})$

解题步骤 2.3.1.2.3

运用分配律。

$7 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

解题步骤 2.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$7 x + 1 = 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

将 $\sqrt{5 x}$ 乘以 $1$ 。

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

解题步骤 2.3.1.3.1.3

将 $\sqrt{5 x}$ 乘以 $1$ 。

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

解题步骤 2.3.1.3.1.4

乘以 $\sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.4.1

对 $\sqrt{5 x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1} \sqrt{5 x}$

解题步骤 2.3.1.3.1.4.2

对 $\sqrt{5 x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1} {\sqrt{5 x}}^{1}$

解题步骤 2.3.1.3.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1 + 1}$

解题步骤 2.3.1.3.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{2}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5

将 ${\sqrt{5 x}}^{2}$ 重写为 $5 x$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 x}$ 重写成 ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {({(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.3.1.5.4.1

约去公因数。

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.4.2

重写表达式。

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{1}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.5

化简。

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + 5 x$

解题步骤 2.3.1.3.2

将 $\sqrt{5 x}$ 和 $\sqrt{5 x}$ 相加。

$7 x + 1 = 1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x$

解题步骤 3

求解 $2 \sqrt{5 x}$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1$ 。

$1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $2 \sqrt{5 x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1 - 1$

解题步骤 3.2.2

从等式两边同时减去 $5 x$ 。

$2 \sqrt{5 x} = 7 x + 1 - 1 - 5 x$

解题步骤 3.2.3

合并 $7 x + 1 - 1 - 5 x$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.3.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$2 \sqrt{5 x} = 7 x + 0 - 5 x$

解题步骤 3.2.3.2

将 $7 x$ 和 $0$ 相加。

$2 \sqrt{5 x} = 7 x - 5 x$

解题步骤 3.2.4

从 $7 x$ 中减去 $5 x$ 。

$2 \sqrt{5 x} = 2 x$

解题步骤 4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{5 x})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 x}$ 重写成 ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 ${(2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $5 x$ 运用乘积法则。

${(2 (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.2.1.2.1

对 $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(2 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2.2

对 $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.4

将 ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.4.2.1

约去公因数。

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.4.2.2

重写表达式。

$4 \cdot 5^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.5

计算指数。

$4 \cdot 5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.6

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$20 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.7

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.7.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.7.2.1

约去公因数。

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.7.2.2

重写表达式。

$20 x^{1} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.8

化简。

$20 x = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

化简 ${(2 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$20 x = 2^{2} x^{2}$

解题步骤 5.3.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$20 x = 4 x^{2}$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

从等式两边同时减去 $4 x^{2}$ 。

$20 x - 4 x^{2} = 0$

解题步骤 6.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.2.1

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$20 u - 4 u^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2

从 $20 u - 4 u^{2}$ 中分解出因数 $4 u$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $20 u$ 中分解出因数 $4 u$ 。

$4 u (5) - 4 u^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2.2

从 $- 4 u^{2}$ 中分解出因数 $4 u$ 。

$4 u (5) + 4 u (- u) = 0$

解题步骤 6.2.2.3

从 $4 u (5) + 4 u (- u)$ 中分解出因数 $4 u$ 。

$4 u (5 - u) = 0$

解题步骤 6.2.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 x (5 - x) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$5 - x = 0$

解题步骤 6.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.5

将 $5 - x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $5 - x$ 设为等于 $0$ 。

$5 - x = 0$

解题步骤 6.5.2

求解 $x$ 的 $5 - x = 0$ 。

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解题步骤 6.5.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- x = - 5$

解题步骤 6.5.2.2

将 $- x = - 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.5.2.2.1

将 $- x = - 5$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.2.2.3.1

用 $- 5$ 除以 $- 1$ 。

$x = 5$

解题步骤 6.6

最终解为使 $4 x (5 - x) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 5$

解题步骤 7

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