有限数学示例

$f (x) = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

解题步骤 1

将 $x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$10 x^{3} - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $10 x^{3} - 10 x$ 中分解出因数 $10 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $10 x^{3}$ 中分解出因数 $10 x$ 。

$10 x (x^{2}) - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从 $- 10 x$ 中分解出因数 $10 x$ 。

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $10 x (x^{2}) + 10 x (- 1)$ 中分解出因数 $10 x$ 。

$10 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$10 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

解题步骤 2.1.4

因数。

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解题步骤 2.1.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$10 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

解题步骤 2.1.4.2

去掉多余的括号。

$10 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

解题步骤 2.1.5

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$10 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} + 11 = 0$

解题步骤 2.1.6

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$10 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 12 u + 11 = 0$

解题步骤 2.1.7

使用 AC 法来对 $u^{2} - 12 u + 11$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.7.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $11$ ，和为 $- 12$ 。

$- 11, - 1$

解题步骤 2.1.7.2

使用这些整数书写分数形式。

$10 x (x + 1) (x - 1) + (u - 11) (u - 1) = 0$

解题步骤 2.1.8

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 2.1.9

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

解题步骤 2.1.10

因数。

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解题步骤 2.1.10.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.10.2

去掉多余的括号。

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

解题步骤 2.1.11

从 $10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.11.1

从 $10 x (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

解题步骤 2.1.11.2

从 $(x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11) = 0$

解题步骤 2.1.11.3

从 $(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$(x + 1) (x - 1) (10 x + x^{2} - 11) = 0$

解题步骤 2.1.12

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x + 1) (x - 1) (10 u + u^{2} - 11) = 0$

解题步骤 2.1.13

使用 AC 法来对 $10 u + u^{2} - 11$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.13.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 11$ ，和为 $10$ 。

$- 1, 11$

解题步骤 2.1.13.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 1) (x - 1) ((u - 1) (u + 11)) = 0$

解题步骤 2.1.14

因数。

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解题步骤 2.1.14.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x + 1) (x - 1) ((x - 1) (x + 11)) = 0$

解题步骤 2.1.14.2

去掉多余的括号。

$(x + 1) (x - 1) (x - 1) (x + 11) = 0$

解题步骤 2.1.15

合并指数。

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解题步骤 2.1.15.1

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

解题步骤 2.1.15.2

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

解题步骤 2.1.15.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x + 1) {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 11) = 0$

解题步骤 2.1.15.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 11 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.4

将 ${(x - 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 ${(x - 1)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.5

将 $x + 11$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 11$ 设为等于 $0$ 。

$x + 11 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $11$ 。

$x = - 11$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 1, - 11$

解题步骤 3

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