有限数学示例

$\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[9]{x}}{3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 1

将 $\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[9]{x}}{3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x} = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $\sqrt[9]{x}$ 。

$3 \sqrt[3]{x} = - \sqrt[9]{x}$

解题步骤 2.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

解题步骤 2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简 ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

解题步骤 2.3.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

解题步骤 2.3.2.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

解题步骤 2.3.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 x^{1} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

解题步骤 2.3.2.1.4

化简。

$27 x = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

化简 ${(- \sqrt[9]{x})}^{3}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

化简表达式。

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解题步骤 2.3.3.1.1.1

对 $- \sqrt[9]{x}$ 运用乘积法则。

$27 x = {(- 1)}^{3} {\sqrt[9]{x}}^{3}$

解题步骤 2.3.3.1.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 x = - {\sqrt[9]{x}}^{3}$

解题步骤 2.3.3.1.2

将 ${\sqrt[9]{x}}^{3}$ 重写为 $\sqrt[3]{x}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[9]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{9}}$ 。

$27 x = - {(x^{\frac{1}{9}})}^{3}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 x = - x^{\frac{1}{9} \cdot 3}$

解题步骤 2.3.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{9}$ 和 $3$ 。

$27 x = - x^{\frac{3}{9}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.4

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.2.4.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$27 x = - x^{\frac{3 (1)}{9}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.2.4.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$27 x = - x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.4.2.2

约去公因数。

$27 x = - x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.4.2.3

重写表达式。

$27 x = - x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.3.3.1.2.5

将 $x^{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\sqrt[3]{x}$ 。

$27 x = - \sqrt[3]{x}$

解题步骤 2.4

将方程重写为 $- \sqrt[3]{x} = 27 x$ 。

$- \sqrt[3]{x} = 27 x$

解题步骤 2.5

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(- \sqrt[3]{x})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

解题步骤 2.6

化简方程的两边。

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解题步骤 2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

${(- x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

解题步骤 2.6.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.1

化简 ${(- x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 2.6.2.1.1

对 $- x^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

解题步骤 2.6.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

解题步骤 2.6.2.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.6.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(27 x)}^{3}$

解题步骤 2.6.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.1.3.2.1

约去公因数。

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(27 x)}^{3}$

解题步骤 2.6.2.1.3.2.2

重写表达式。

$- x^{1} = {(27 x)}^{3}$

解题步骤 2.6.2.1.4

化简。

$- x = {(27 x)}^{3}$

解题步骤 2.6.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.3.1

化简 ${(27 x)}^{3}$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.1

对 $27 x$ 运用乘积法则。

$- x = 27^{3} x^{3}$

解题步骤 2.6.3.1.2

对 $27$ 进行 $3$ 次方运算。

$- x = 19683 x^{3}$

解题步骤 2.7

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.7.1

从等式两边同时减去 $19683 x^{3}$ 。

$- x - 19683 x^{3} = 0$

解题步骤 2.7.2

从 $- x - 19683 x^{3}$ 中分解出因数 $- x$ 。

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解题步骤 2.7.2.1

将 $- x$ 和 $- 19683 x^{3}$ 重新排序。

$- 19683 x^{3} - x = 0$

解题步骤 2.7.2.2

从 $- 19683 x^{3}$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (19683 x^{2}) - x = 0$

解题步骤 2.7.2.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (19683 x^{2}) - x \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.7.2.4

从 $- x (19683 x^{2}) - x (1)$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (19683 x^{2} + 1) = 0$

解题步骤 2.7.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$19683 x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 2.7.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.7.5

将 $19683 x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.7.5.1

将 $19683 x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$19683 x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 2.7.5.2

求解 $x$ 的 $19683 x^{2} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.7.5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$19683 x^{2} = - 1$

解题步骤 2.7.5.2.2

将 $19683 x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $19683$ 并化简。

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解题步骤 2.7.5.2.2.1

将 $19683 x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $19683$ 。

$\frac{19683 x^{2}}{19683} = \frac{- 1}{19683}$

解题步骤 2.7.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.5.2.2.2.1

约去 $19683$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{19683 x^{2}}{19683} = \frac{- 1}{19683}$

解题步骤 2.7.5.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{19683}$

解题步骤 2.7.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.7.5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{1}{19683}$

解题步骤 2.7.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{19683}}$

解题步骤 2.7.5.2.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{1}{19683}}$ 。

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解题步骤 2.7.5.2.4.1

将 $- \frac{1}{19683}$ 重写为 ${(\frac{i}{81})}^{2} \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 2.7.5.2.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{19683}}$

解题步骤 2.7.5.2.4.1.2

从 $1$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 1}{19683}}$

解题步骤 2.7.5.2.4.1.3

从 $19683$ 中因式分解出完全幂数 $81^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 1}{81^{2} \cdot 3}}$

解题步骤 2.7.5.2.4.1.4

重新整理分数 $\frac{1^{2} \cdot 1}{81^{2} \cdot 3}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{81})}^{2} \frac{1}{3})}$

解题步骤 2.7.5.2.4.1.5

将 $i^{2} {(\frac{1}{81})}^{2}$ 重写为 ${(\frac{i}{81})}^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{81})}^{2} \frac{1}{3}}$

解题步骤 2.7.5.2.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{i}{81} \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.7.5.2.4.3

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.7.5.2.4.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.7.5.2.4.5

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{i}{81} (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 2.7.5.2.4.6

合并和化简分母。

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解题步骤 2.7.5.2.4.6.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.7.5.2.4.6.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.7.5.2.4.6.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 2.7.5.2.4.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.7.5.2.4.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.7.5.2.4.6.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.7.5.2.4.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.7.5.2.4.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.7.5.2.4.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.7.5.2.4.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.5.2.4.6.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.7.5.2.4.6.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 2.7.5.2.4.6.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.7.5.2.4.7

乘以 $\frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 2.7.5.2.4.7.1

将 $\frac{i}{81}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{81 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.5.2.4.7.2

将 $81$ 乘以 $3$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{243}$

解题步骤 2.7.5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.7.5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{243}$

解题步骤 2.7.5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

解题步骤 2.7.5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{243}, - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

解题步骤 2.7.6

最终解为使 $- x (19683 x^{2} + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{243}, - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

解题步骤 3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 4

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