有限数学示例

$\frac{256 x^{2} - y^{2}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

将 $256 x^{2}$ 重写为 ${(16 x)}^{2}$ 。

$\frac{{(16 x)}^{2} - y^{2}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 16 x$ 和 $b = y$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y)}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$

解题步骤 2

将 $\frac{(16 x + y) (16 x - y)}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$ 乘以 $\frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y)}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}$

解题步骤 3

将 $\frac{(16 x + y) (16 x - y)}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$ 乘以 $\frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}$

解题步骤 4

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{{\sqrt[4]{x}}^{2} + \sqrt[4]{x y^{2}} - \sqrt[4]{x y^{2}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{{(x^{\frac{1}{4}})}^{2} - {\sqrt{y}}^{2}}$

解题步骤 5.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{1}{4} \cdot 2} - {\sqrt{y}}^{2}}$

解题步骤 5.1.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $2$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{2}{4}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

解题步骤 5.1.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{2 (1)}{4}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{1}{2}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

解题步骤 5.1.5

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - {\sqrt{y}}^{2}}$

解题步骤 5.2

将 ${\sqrt{y}}^{2}$ 重写为 $y$ 。

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解题步骤 5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.2.4.2

重写表达式。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y^{1}}$

解题步骤 5.2.5

化简。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y}$

解题步骤 6

将 $\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x} + y}{\sqrt{x} + y}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y} \cdot \frac{\sqrt{x} + y}{\sqrt{x} + y}$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x} + y}{\sqrt{x} + y}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{(\sqrt{x} - y) (\sqrt{x} + y)}$

解题步骤 7.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} y - y \sqrt{x} - y^{2}}$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - y^{2}}$

解题步骤 7.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y^{2}}$

解题步骤 7.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x^{\frac{2}{2}} - y^{2}}$

解题步骤 7.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.4.1

约去公因数。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x^{\frac{2}{2}} - y^{2}}$

解题步骤 7.3.4.2

重写表达式。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x^{1} - y^{2}}$

解题步骤 7.3.5

化简。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x - y^{2}}$

解题步骤 7.4

将 $\sqrt{x} + y$ 和 $\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}$ 分成一组。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) ((\sqrt{x} + y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}))}{x - y^{2}}$

解题步骤 8

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{x} + y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})$ 。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt{x} (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) + y (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}))}{x - y^{2}}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt{x} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}))}{x - y^{2}}$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt{x} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

解题步骤 9

化简每一项。

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解题步骤 9.1

乘以 $\sqrt{x} \sqrt[4]{x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

使用 $4$ 的最小常见指标重写表达式。

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解题步骤 9.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

解题步骤 9.1.1.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $x^{\frac{2}{4}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{2}{4}} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

解题步骤 9.1.1.3

将 $x^{\frac{2}{4}}$ 重写为 $\sqrt[4]{x^{2}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{2}} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

解题步骤 9.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{2} x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

解题步骤 9.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.1.3.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.1.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{2} x^{1}} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

解题步骤 9.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{2 + 1}} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

解题步骤 9.1.3.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

解题步骤 9.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt{x y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{x^{3}}$ 重写成 $x^{\frac{3}{4}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + \sqrt{x y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x y}$ 重写成 ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y \cdot y^{\frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.5

对 $x y$ 运用乘积法则。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y \cdot y^{\frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.6

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.6.1

将 $y$ 乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.6.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{1} y^{\frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{1 + \frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.6.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.6.3

在公分母上合并分子。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{2 + 1}{2}})}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.6.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.7

以因式分解的形式重写 $x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 10.7.1

从 $x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.7.1.1

从 $x^{\frac{3}{4}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.7.1.2

从 $x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}}) + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.7.1.3

从 $x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.7.2

从 $y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 10.7.2.1

从 $y x^{\frac{1}{4}}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y (x^{\frac{1}{4}}) + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.7.2.2

从 $y^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y (x^{\frac{1}{4}}) + y \cdot y^{\frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.7.2.3

从 $y (x^{\frac{1}{4}}) + y \cdot y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.7.3

从 $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.7.3.1

从 $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) ((x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} + y (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.7.3.2

从 $y (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) ((x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} + (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) y)}{x - y^{2}}$

解题步骤 10.7.3.3

从 $(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} + (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) y$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) ((x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) (x^{\frac{1}{2}} + y))}{x - y^{2}}$

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) (x^{\frac{1}{2}} + y)}{x - y^{2}}$

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