有限数学示例

$2 x^{\frac{2}{3}} - 11 x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

解题步骤 1

将 $x^{\frac{2}{3}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 。

$2 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 11 x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

解题步骤 2

使 $u = x^{\frac{1}{3}}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$2 u^{2} - 11 u - 6 = 0$

解题步骤 3

分组因式分解。

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解题步骤 3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ 并且它们的和为 $b = - 11$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $- 11 u$ 中分解出因数 $- 11$ 。

$2 u^{2} - 11 u - 6 = 0$

解题步骤 3.1.2

把 $- 11$ 重写为 $1$ 加 $- 12$

$2 u^{2} + (1 - 12) u - 6 = 0$

解题步骤 3.1.3

运用分配律。

$2 u^{2} + 1 u - 12 u - 6 = 0$

解题步骤 3.1.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$2 u^{2} + u - 12 u - 6 = 0$

解题步骤 3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(2 u^{2} + u) - 12 u - 6 = 0$

解题步骤 3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (2 u + 1) - 6 (2 u + 1) = 0$

解题步骤 3.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u + 1$ 来因式分解多项式。

$(2 u + 1) (u - 6) = 0$

解题步骤 4

使用 $x^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(2 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 6) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

解题步骤 6

将 $2 x^{\frac{1}{3}} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $2 x^{\frac{1}{3}} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $2 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

解题步骤 6.2.2

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

解题步骤 6.2.3

化简指数。

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解题步骤 6.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.3.1.1

化简 ${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 6.2.3.1.1.1

对 $2 x^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

解题步骤 6.2.3.1.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

解题步骤 6.2.3.1.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.3.1.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

解题步骤 6.2.3.1.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.1.3.2.1

约去公因数。

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

解题步骤 6.2.3.1.1.3.2.2

重写表达式。

$8 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

解题步骤 6.2.3.1.1.4

化简。

$8 x = {(- 1)}^{3}$

解题步骤 6.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.2.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 x = - 1$

解题步骤 6.2.4

将 $8 x = - 1$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $8 x = - 1$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

解题步骤 6.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.4.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

解题步骤 6.2.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{8}$

解题步骤 6.2.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{8}$

解题步骤 7

将 $x^{\frac{1}{3}} - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $x^{\frac{1}{3}} - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $6$ 。

$x^{\frac{1}{3}} = 6$

解题步骤 7.2.2

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 6^{3}$

解题步骤 7.2.3

化简指数。

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解题步骤 7.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.3.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 6^{3}$

解题步骤 7.2.3.1.1.2

化简。

$x = 6^{3}$

解题步骤 7.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.2.1

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = 216$

解题步骤 8

最终解为使 $(2 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{1}{8}, 216$

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