有限数学示例

$\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (6)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\ln (6)$ 。

$\ln (x) + \ln (x + 1) - \ln (6) = 0$

解题步骤 2

化简 $\ln (x) + \ln (x + 1) - \ln (6)$ 。

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解题步骤 2.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (x (x + 1)) - \ln (6) = 0$

解题步骤 2.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{x (x + 1)}{6}) = 0$

解题步骤 3

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{x (x + 1)}{6})} = e^{0}$

解题步骤 4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{x (x + 1)}{6}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = \frac{x (x + 1)}{6}$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $\frac{x (x + 1)}{6} = e^{0}$ 。

$\frac{x (x + 1)}{6} = e^{0}$

解题步骤 5.2

等式两边同时乘以 $6$ 。

$6 \frac{x (x + 1)}{6} = 6 e^{0}$

解题步骤 5.3

化简方程的两边。

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解题步骤 5.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.1

化简 $6 \frac{x (x + 1)}{6}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1.1.1

约去公因数。

$6 \frac{x (x + 1)}{6} = 6 e^{0}$

解题步骤 5.3.1.1.1.2

重写表达式。

$x (x + 1) = 6 e^{0}$

解题步骤 5.3.1.1.2

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot 1 = 6 e^{0}$

解题步骤 5.3.1.1.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1.1.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot 1 = 6 e^{0}$

解题步骤 5.3.1.1.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + x = 6 e^{0}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

化简 $6 e^{0}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{2} + x = 6 \cdot 1$

解题步骤 5.3.2.1.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + x = 6$

解题步骤 5.4

从等式两边同时减去 $6$ 。

$x^{2} + x - 6 = 0$

解题步骤 5.5

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $1$ 。

$- 2, 3$

解题步骤 5.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 2) (x + 3) = 0$

解题步骤 5.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 5.7

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.7.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 5.7.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 5.8

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.8.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 5.8.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 5.9

最终解为使 $(x - 2) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 3$

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