有限数学示例

$f (x) = 0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$

解题步骤 1

求 x 轴截距。

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解题步骤 1.1

要求 x 轴截距，请将 $0$ 代入 $y$ 并求解 $x$ 。

$0 = 0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$

解题步骤 1.2

求解方程。

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解题步骤 1.2.1

将方程重写为 $0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$ 。

$0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$ 中分解出因数 $0.1$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $0.1 x^{3}$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$0.1 (x^{3}) - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

从 $- 0.3 x^{2}$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$0.1 (x^{3}) + 0.1 (- 3 x^{2}) - 1.8 x + 4 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

从 $- 1.8 x$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$0.1 (x^{3}) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 4 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.4

从 $4$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$0.1 x^{3} + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.5

从 $0.1 x^{3} + 0.1 (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.6

从 $0.1 (x^{3} - 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x)$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.7

从 $0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x) + 0.1 \cdot 40$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.2.2.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

解题步骤 1.2.2.2.3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.2.2.2.3.1

将 $2$ 代入多项式。

$2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 18 \cdot 2 + 40$

解题步骤 1.2.2.2.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 - 3 \cdot 2^{2} - 18 \cdot 2 + 40$

解题步骤 1.2.2.2.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - 3 \cdot 4 - 18 \cdot 2 + 40$

解题步骤 1.2.2.2.3.4

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$8 - 12 - 18 \cdot 2 + 40$

解题步骤 1.2.2.2.3.5

从 $8$ 中减去 $12$ 。

$- 4 - 18 \cdot 2 + 40$

解题步骤 1.2.2.2.3.6

将 $- 18$ 乘以 $2$ 。

$- 4 - 36 + 40$

解题步骤 1.2.2.2.3.7

从 $- 4$ 中减去 $36$ 。

$- 40 + 40$

解题步骤 1.2.2.2.3.8

将 $- 40$ 和 $40$ 相加。

$0$

解题步骤 1.2.2.2.4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40}{x - 2}$

解题步骤 1.2.2.2.5

用 $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ 除以 $x - 2$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$40$

解题步骤 1.2.2.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$

解题步骤 1.2.2.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$

解题步骤 1.2.2.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$

解题步骤 1.2.2.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 1.2.2.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} + 2 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 1.2.2.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$

解题步骤 1.2.2.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$

解题步骤 1.2.2.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 20 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$

解题步骤 1.2.2.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							-	$20 x$	+	$40$

解题步骤 1.2.2.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 20 x + 40$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							+	$20 x$	-	$40$

解题步骤 1.2.2.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							+	$20 x$	-	$40$
										$0$

解题步骤 1.2.2.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - x - 20$

解题步骤 1.2.2.2.6

将 $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ 书写为因数的集合。

$0.1 ((x - 2) (x^{2} - x - 20)) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

因数。

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解题步骤 1.2.2.3.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.3.1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.3.1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 20$ ，和为 $- 1$ 。

$- 5, 4$

解题步骤 1.2.2.3.1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$0.1 ((x - 2) ((x - 5) (x + 4))) = 0$

解题步骤 1.2.2.3.1.2

去掉多余的括号。

$0.1 ((x - 2) (x - 5) (x + 4)) = 0$

解题步骤 1.2.2.3.2

去掉多余的括号。

$0.1 (x - 2) (x - 5) (x + 4) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 1.2.5

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 1.2.6

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 1.2.7

最终解为使 $0.1 (x - 2) (x - 5) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, 5, - 4$

解题步骤 1.3

以点的形式表示的 x 轴截距。

x 轴截距： $(2, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

解题步骤 2

求 y 轴截距

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解题步骤 2.1

要求 y 轴截距，请将 $0$ 代入 $x$ 并求解 $y$ 。

$y = 0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

解题步骤 2.2

求解方程。

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解题步骤 2.2.1

去掉圆括号。

$y = 0.1 \cdot 0^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

解题步骤 2.2.2

去掉圆括号。

$y = 0.1 \cdot 0^{3} - 0.3 \cdot 0^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

解题步骤 2.2.3

去掉圆括号。

$y = 0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

解题步骤 2.2.4

化简 $0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.4.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0.1 \cdot 0 - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

解题步骤 2.2.4.1.2

将 $0.1$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

解题步骤 2.2.4.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - 0.3 \cdot 0 - 1.8 \cdot 0 + 4$

解题步骤 2.2.4.1.4

将 $- 0.3$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 - 1.8 \cdot 0 + 4$

解题步骤 2.2.4.1.5

将 $- 1.8$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 0 + 4$

解题步骤 2.2.4.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.2.4.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 0 + 4$

解题步骤 2.2.4.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 4$

解题步骤 2.2.4.2.3

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$y = 4$

解题步骤 2.3

以点的形式表示的 y 轴截距。

y 轴截距： $(0, 4)$

解题步骤 3

列出交点。

x 轴截距： $(2, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

y 轴截距： $(0, 4)$

解题步骤 4

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