有限数学示例

y = e^{- x} \cdot \ln (x)

$y = e^{- x} \cdot \ln (x)$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

求在何处表达式

e^{- x} \cdot \ln (x)

$e^{- x} \cdot \ln (x)$ 无定义。

x \leq 0

$x \leq 0$

解题步骤 1.2

由于从左侧，当

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ 时，

e^{- x} \cdot \ln (x)

$e^{- x} \cdot \ln (x)$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ ，且从右侧，当

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ 时，

e^{- x} \cdot \ln (x)

$e^{- x} \cdot \ln (x)$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ ，因此

x = 0

$x = 0$ 是一条垂直渐近线。

x = 0

$x = 0$

解题步骤 1.3

计算

lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x)

$lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x)$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 1.3.1

将

e^{- x} \ln (x)

$e^{- x} \ln (x)$ 重写为

\frac{\ln (x)}{e^{x}}

$\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ 。

lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

解题步骤 1.3.2

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.3.2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.3.2.1.1

取分子和分母极限值。

\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 1.3.2.1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于

\infty

$\infty$ 。

\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 1.3.2.1.3

因为指数

x

$x$ 趋于

\infty

$\infty$ ，所以数量

e^{x}

$e^{x}$ 趋于

\infty

$\infty$ 。

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.3.2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.3.2.2

因为

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 1.3.2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.2.3.1

对分子和分母进行求导。

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 1.3.2.3.2

\ln (x)

$\ln (x)$ 对

x

$x$ 的导数为

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ 。

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 1.3.2.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于

a^{x} \ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ ，其中

a

$a$ =

e

$e$ 。

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

解题步骤 1.3.2.4

将分子乘以分母的倒数。

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

解题步骤 1.3.2.5

将

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ 乘以

\frac{1}{e^{x}}

$\frac{1}{e^{x}}$ 。

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

解题步骤 1.3.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数

\frac{1}{x e^{x}}

$\frac{1}{x e^{x}}$ 趋于

0

$0$ 。

0

$0$

0

$0$

解题步骤 1.4

列出水平渐近线：

y = 0

$y = 0$

解题步骤 1.5

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 1.6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线：

x = 0

$x = 0$

水平渐近线：

y = 0

$y = 0$

垂直渐近线：

x = 0

$x = 0$

水平渐近线：

y = 0

$y = 0$

解题步骤 2

求在

x = 1

$x = 1$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的

1

$1$ 替换变量

x

$x$ 。

f (1) = e^{- (1)} \cdot \ln (1)

$f (1) = e^{- (1)} \cdot \ln (1)$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

f (1) = e^{- 1} \cdot \ln (1)

$f (1) = e^{- 1} \cdot \ln (1)$

解题步骤 2.2.2

使用负指数规则

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

f (1) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1)

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1)$

解题步骤 2.2.3

1

$1$ 的自然对数为

0

$0$ 。

f (1) = \frac{1}{e} \cdot 0

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot 0$

解题步骤 2.2.4

将

\frac{1}{e}

$\frac{1}{e}$ 乘以

0

$0$ 。

f (1) = 0

$f (1) = 0$

解题步骤 2.2.5

最终答案为

0

$0$ 。

0

$0$

0

$0$

解题步骤 2.3

把

0

$0$ 转换成小数。

y = 0

$y = 0$

y = 0

$y = 0$

解题步骤 3

求在

x = 2

$x = 2$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的

2

$2$ 替换变量

x

$x$ 。

f (2) = e^{- (2)} \cdot \ln (2)

$f (2) = e^{- (2)} \cdot \ln (2)$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

2

$2$ 。

f (2) = e^{- 2} \cdot \ln (2)

$f (2) = e^{- 2} \cdot \ln (2)$

解题步骤 3.2.2

使用负指数规则

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

f (2) = \frac{1}{e^{2}} \cdot \ln (2)

$f (2) = \frac{1}{e^{2}} \cdot \ln (2)$

解题步骤 3.2.3

组合

\frac{1}{e^{2}}

$\frac{1}{e^{2}}$ 和

\ln (2)

$\ln (2)$ 。

f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}

$f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}$

解题步骤 3.2.4

最终答案为

\frac{\ln (2)}{e^{2}}

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ 。

\frac{\ln (2)}{e^{2}}

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

\frac{\ln (2)}{e^{2}}

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

解题步骤 3.3

把

\frac{\ln (2)}{e^{2}}

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ 转换成小数。

y = 0.09380727

$y = 0.09380727$

y = 0.09380727

$y = 0.09380727$

解题步骤 4

求在

x = 3

$x = 3$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的

3

$3$ 替换变量

x

$x$ 。

f (3) = e^{- (3)} \cdot \ln (3)

$f (3) = e^{- (3)} \cdot \ln (3)$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

3

$3$ 。

f (3) = e^{- 3} \cdot \ln (3)

$f (3) = e^{- 3} \cdot \ln (3)$

解题步骤 4.2.2

使用负指数规则

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

f (3) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (3)

$f (3) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (3)$

解题步骤 4.2.3

组合

\frac{1}{e^{3}}

$\frac{1}{e^{3}}$ 和

\ln (3)

$\ln (3)$ 。

f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}

$f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}$

解题步骤 4.2.4

最终答案为

\frac{\ln (3)}{e^{3}}

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ 。

\frac{\ln (3)}{e^{3}}

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

\frac{\ln (3)}{e^{3}}

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

解题步骤 4.3

把

\frac{\ln (3)}{e^{3}}

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ 转换成小数。

y = 0.05469668

$y = 0.05469668$

y = 0.05469668

$y = 0.05469668$

解题步骤 5

可以使用

x = 0

$x = 0$ 处的垂直渐近线和点

(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)

$(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线：

x = 0

$x = 0$

\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}$

解题步骤 6

有限数学 示例

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