有限数学示例

y = \frac{5 ln (x + 5)}{x^{2}}

$y = \frac{5 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

求在何处表达式

\frac{ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ 无定义。

x \leq - 5, x = 0

$x \leq - 5, x = 0$

解题步骤 1.2

由于从左侧，当

x

$x$

\to

$\to$

- 5

$- 5$ 时，

\frac{ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ ，且从右侧，当

x

$x$

\to

$\to$

- 5

$- 5$ 时，

\frac{ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ ，因此

x = - 5

$x = - 5$ 是一条垂直渐近线。

x = - 5

$x = - 5$

解题步骤 1.3

由于从左侧，当

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ 时，

\frac{ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ ，且从右侧，当

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ 时，

\frac{ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ ，因此

x = 0

$x = 0$ 是一条垂直渐近线。

x = 0

$x = 0$

解题步骤 1.4

列出所有垂直渐近线：

x = - 5, 0

$x = - 5, 0$

解题步骤 1.5

忽略对数，考虑分子的次数为

n

$n$ 且分母的次数为

m

$m$ 的有理函数

R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 。

1. 如果

n < m

$n < m$ ，那么 X 轴，即

y = 0

$y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果

n = m

$n = m$ ，那么水平渐近线为直线

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果

n > m

$n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 1.6

求

n

$n$ 和

m

$m$ 。

n = 0

$n = 0$

m = 2

$m = 2$

解题步骤 1.7

因为

n < m

$n < m$ ，所以 x 轴、

y = 0

$y = 0$ 是水平渐近线。

y = 0

$y = 0$

解题步骤 1.8

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 1.9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线：

x = - 5, 0

$x = - 5, 0$

水平渐近线：

y = 0

$y = 0$

垂直渐近线：

x = - 5, 0

$x = - 5, 0$

水平渐近线：

y = 0

$y = 0$

解题步骤 2

求在

x = 1

$x = 1$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的

1

$1$ 替换变量

x

$x$ 。

f (1) = \frac{5 ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}

$f (1) = \frac{5 \ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简

5 ln (1 + 5)

$5 \ln (1 + 5)$ 。

f (1) = \frac{ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}$

解题步骤 2.2.2

一的任意次幂都为一。

f (1) = \frac{ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}$

解题步骤 2.2.3

化简分子。

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解题步骤 2.2.3.1

将

1

$1$ 和

5

$5$ 相加。

f (1) = \frac{ln (6^{5})}{1}

$f (1) = \frac{\ln (6^{5})}{1}$

解题步骤 2.2.3.2

对

6

$6$ 进行

5

$5$ 次方运算。

f (1) = \frac{ln (7776)}{1}

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

f (1) = \frac{ln (7776)}{1}

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

解题步骤 2.2.4

用

ln (7776)

$\ln (7776)$ 除以

1

$1$ 。

f (1) = ln (7776)

$f (1) = \ln (7776)$

解题步骤 2.2.5

最终答案为

ln (7776)

$\ln (7776)$ 。

ln (7776)

$\ln (7776)$

ln (7776)

$\ln (7776)$

解题步骤 2.3

把

ln (7776)

$\ln (7776)$ 转换成小数。

y = 8.95879734

$y = 8.95879734$

y = 8.95879734

$y = 8.95879734$

解题步骤 3

求在

x = 2

$x = 2$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的

2

$2$ 替换变量

x

$x$ 。

f (2) = \frac{5 ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简

5 ln (2 + 5)

$5 \ln (2 + 5)$ 。

f (2) = \frac{ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对

2

$2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

f (2) = \frac{ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}$

解题步骤 3.2.3

化简分子。

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解题步骤 3.2.3.1

将

2

$2$ 和

5

$5$ 相加。

f (2) = \frac{ln (7^{5})}{4}

$f (2) = \frac{\ln (7^{5})}{4}$

解题步骤 3.2.3.2

对

7

$7$ 进行

5

$5$ 次方运算。

f (2) = \frac{ln (16807)}{4}

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

f (2) = \frac{ln (16807)}{4}

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

解题步骤 3.2.4

将

\frac{ln (16807)}{4}

$\frac{\ln (16807)}{4}$ 重写为

\frac{1}{4} ln (16807)

$\frac{1}{4} \ln (16807)$ 。

f (2) = \frac{1}{4} \cdot ln (16807)

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16807)$

解题步骤 3.2.5

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简

\frac{1}{4} ln (16807)

$\frac{1}{4} \ln (16807)$ 。

f (2) = ln (16807^{\frac{1}{4}})

$f (2) = \ln (16807^{\frac{1}{4}})$

解题步骤 3.2.6

最终答案为

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ 。

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$

解题步骤 3.3

把

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ 转换成小数。

$y = 2.43238768$

解题步骤 4

求在

$x = 3$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的

$3$ 替换变量

$x$ 。

$f (3) = \frac{5 \ln ((3) + 5)}{{(3)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简

$5 \ln (3 + 5)$ 。

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{3^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{9}$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

将

$3$ 和

$5$ 相加。

$f (3) = \frac{\ln (8^{5})}{9}$

解题步骤 4.2.3.2

对

$8$ 进行

$5$ 次方运算。

$f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}$

解题步骤 4.2.4

将

$\ln (32768)$ 重写为

$\ln (2^{15})$ 。

$f (3) = \frac{\ln (2^{15})}{9}$

解题步骤 4.2.5

通过将

$15$ 移到对数外来展开

$\ln (2^{15})$ 。

$f (3) = \frac{15 \ln (2)}{9}$

解题步骤 4.2.6

约去

$15$ 和

$9$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.1

从

$15 \ln (2)$ 中分解出因数

$3$ 。

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{9}$

解题步骤 4.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.6.2.1

从

$9$ 中分解出因数

$3$ 。

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 (3)}$

解题步骤 4.2.6.2.2

约去公因数。

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.2.6.2.3

重写表达式。

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

解题步骤 4.2.7

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简

$5 \ln (2)$ 。

$f (3) = \frac{\ln (2^{5})}{3}$

解题步骤 4.2.8

对

$2$ 进行

$5$ 次方运算。

$f (3) = \frac{\ln (32)}{3}$

解题步骤 4.2.9

将

$\frac{\ln (32)}{3}$ 重写为

$\frac{1}{3} \ln (32)$ 。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (32)$

解题步骤 4.2.10

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简

$\frac{1}{3} \ln (32)$ 。

$f (3) = \ln (32^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 4.2.11

最终答案为

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$ 。

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 4.3

把

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$ 转换成小数。

$y = 1.1552453$

解题步骤 5

可以使用

$x = - 5, 0$ 处的垂直渐近线和点

$(1, 8.95879734), (2, 2.43238768), (3, 1.1552453)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线：

$x = - 5, 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 8.959 \\ 2 & 2.432 \\ 3 & 1.155 \end{array}$

解题步骤 6

有限数学 示例

有限数学示例