有限数学示例

$x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y = 11$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $11$ 。

$x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 11 = 0$

解题步骤 2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3

将 $a = 1$ 、 $b = 2$ 和 $c = y^{2} + 4 y - 11$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4 y - 11))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4 y - 11)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (y^{2} + 4 y - 11)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 4 (4 y) - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 16 y - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4.2

将 $- 4$ 乘以 $- 11$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 16 y + 44}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.5

将 $4$ 和 $44$ 相加。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 y^{2} - 16 y + 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6

以因式分解的形式重写 $- 4 y^{2} - 16 y + 48$ 。

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解题步骤 4.1.6.1

从 $- 4 y^{2} - 16 y + 48$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 4.1.6.1.1

从 $- 4 y^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) - 16 y + 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6.1.2

从 $- 16 y$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y) + 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6.1.3

从 $48$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6.1.4

从 $4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 4 y) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6.1.5

从 $4 (- y^{2} - 4 y) + 4 (12)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 4 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6.2

分组因式分解。

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解题步骤 4.1.6.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ 并且它们的和为 $b = - 4$ 。

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解题步骤 4.1.6.2.1.1

从 $- 4 y$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 4 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6.2.1.2

把 $- 4$ 重写为 $2$ 加 $- 6$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + (2 - 6) y + 12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6.2.1.3

运用分配律。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 2 y - 6 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.1.6.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- y^{2} + 2 y) - 6 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (y (- y + 2) + 6 (- y + 2))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- y + 2$ 来因式分解多项式。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- y + 2) (y + 6))}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y + 2) (y + 6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.7

将 $4 (- y + 2) (y + 6)$ 重写为 $2^{2} ((- y + 2) (y + 6))$ 。

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解题步骤 4.1.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- y + 2) (y + 6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.7.2

添加圆括号。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} ((- y + 2) (y + 6))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}{2}$

解题步骤 4.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$

解题步骤 5

最终答案为两个解的组合。

$x = - 1 + \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$

$x = - 1 - \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$

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