有限数学示例

x^{2} + (p + 1) x + 2 p - 1 = 0

$x^{2} + (p + 1) x + 2 p - 1 = 0$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

x^{2} + p x + 1 x + 2 p - 1 = 0

$x^{2} + p x + 1 x + 2 p - 1 = 0$

解题步骤 1.2

将

x

$x$ 乘以

1

$1$ 。

x^{2} + p x + x + 2 p - 1 = 0

$x^{2} + p x + x + 2 p - 1 = 0$

x^{2} + p x + x + 2 p - 1 = 0

$x^{2} + p x + x + 2 p - 1 = 0$

解题步骤 2

使用二次公式求解。

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3

将

a = 1

$a = 1$ 、

b = p + 1

$b = p + 1$ 和

c = 2 p - 1

$c = 2 p - 1$ 的值代入二次公式中并求解

x

$x$ 。

\frac{- (p + 1) \pm \sqrt{{(p + 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 p - 1))}}{2 \cdot 1}

$\frac{- (p + 1) \pm \sqrt{{(p + 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 p - 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

x = \frac{- p - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(p + 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(p + 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{{(p + 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{{(p + 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3

将

{(p + 1)}^{2}

${(p + 1)}^{2}$ 重写为

(p + 1) (p + 1)

$(p + 1) (p + 1)$ 。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p + 1) (p + 1) - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p + 1) (p + 1) - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4

使用 FOIL 方法展开

(p + 1) (p + 1)

$(p + 1) (p + 1)$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

运用分配律。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p (p + 1) + 1 (p + 1) - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p (p + 1) + 1 (p + 1) - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4.2

运用分配律。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p \cdot p + p \cdot 1 + 1 (p + 1) - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p \cdot p + p \cdot 1 + 1 (p + 1) - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4.3

运用分配律。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p \cdot p + p \cdot 1 + 1 p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p \cdot p + p \cdot 1 + 1 p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p \cdot p + p \cdot 1 + 1 p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p \cdot p + p \cdot 1 + 1 p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.5.1.1

将

p

$p$ 乘以

p

$p$ 。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p \cdot 1 + 1 p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p \cdot 1 + 1 p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.5.1.2

将

p

$p$ 乘以

1

$1$ 。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p + 1 p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p + 1 p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.5.1.3

将

p

$p$ 乘以

1

$1$ 。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p + p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p + p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.5.1.4

将

1

$1$ 乘以

1

$1$ 。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p + p + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p + p + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p + p + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p + p + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.5.2

将

p

$p$ 和

p

$p$ 相加。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6

将

- 4

$- 4$ 乘以

1

$1$ 。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 4 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 4 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.7

运用分配律。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 4 (2 p) - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 4 (2 p) - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.8

将

2

$2$ 乘以

- 4

$- 4$ 。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 8 p - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 8 p - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.9

将

- 4

$- 4$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 8 p + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 8 p + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.10

从

2 p

$2 p$ 中减去

8 p

$8 p$ 。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} - 6 p + 1 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} - 6 p + 1 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.11

将

1

$1$ 和

4

$4$ 相加。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} - 6 p + 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} - 6 p + 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.12

使用 AC 法来对

p^{2} - 6 p + 5

$p^{2} - 6 p + 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1.12.1

思考一下

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

c

$c$ ，且和为

b

$b$ 。在本例中，其积即为

5

$5$ ，和为

- 6

$- 6$ 。

- 5, - 1

$- 5, - 1$

解题步骤 4.1.12.2

使用这些整数书写分数形式。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2}$

x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2}

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2}$

解题步骤 5

最终答案为两个解的组合。

x = - \frac{p + 1 - \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2}

$x = - \frac{p + 1 - \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2}$

x = - \frac{p + 1 + \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2}

$x = - \frac{p + 1 + \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2}$

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