有限数学示例

$\log_{b} (x) = \frac{3}{2} \cdot \log_{b} (9) - \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (27)$

解题步骤 1

化简右边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $\log_{b} (9)$ 。

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2}{3} \log_{b} (27)$

解题步骤 1.1.2

组合 $\log_{b} (27)$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{\log_{b} (27) \cdot 2}{3}$

解题步骤 1.1.3

将 $2$ 移到 $\log_{b} (27)$ 的左侧。

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$

解题步骤 2

将 $\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ 中的每一项乘以 $6$ 以消去分数。

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解题步骤 2.1

将 $\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ 中的每一项乘以 $6$ 。

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

将 $6$ 移到 $\log_{b} (x)$ 的左侧。

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.1.2

约去公因数。

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.1.3

重写表达式。

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (9) \cdot 3 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.3.1

将 $- \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.3.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 (2))$

解题步骤 2.3.1.3.3

约去公因数。

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

解题步骤 2.3.1.3.4

重写表达式。

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - 2 \log_{b} (27) \cdot 2$

解题步骤 2.3.1.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$

解题步骤 3

化简左边。

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解题步骤 3.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $6 \log_{b} (x)$ 。

$\log_{b} (x^{6}) = 9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$

解题步骤 4

化简右边。

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解题步骤 4.1

化简 $9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$ 。

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解题步骤 4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $9 \log_{b} (9)$ 。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (9^{9}) - 4 \log_{b} (27)$

解题步骤 4.1.1.2

对 $9$ 进行 $9$ 次方运算。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - 4 \log_{b} (27)$

解题步骤 4.1.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \log_{b} (27)$ 。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - \log_{b} (27^{4})$

解题步骤 4.1.1.4

对 $27$ 进行 $4$ 次方运算。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - \log_{b} (531441)$

解题步骤 4.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{387420489}{531441})$

解题步骤 4.1.3

用 $387420489$ 除以 $531441$ 。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (729)$

解题步骤 5

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$x^{6} = 729$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{729}$

解题步骤 6.2

化简 $\pm \sqrt[6]{729}$ 。

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解题步骤 6.2.1

将 $729$ 重写为 $3^{6}$ 。

$x = \pm \sqrt[6]{3^{6}}$

解题步骤 6.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 3$

解题步骤 6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3$

解题步骤 6.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3$

解题步骤 6.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3, - 3$

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