有限数学示例

$z = \sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1} = z$ 。

$\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1} = z$

解题步骤 2

求解 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1^{2}} = z$

解题步骤 2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 1$ 。

$\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{(y + 1) (y - 1)} = z$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ 。

$\sqrt{1 - x^{2}} = z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

解题步骤 4

化简方程的两边。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

将 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

解题步骤 4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

解题步骤 4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(1 - x^{2})}^{1} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

解题步骤 4.2.1.2

化简。

$1 - x^{2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

化简 ${(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

将 ${(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$ 重写为 $(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ 。

$1 - x^{2} = (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

解题步骤 4.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1

运用分配律。

$1 - x^{2} = z (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

解题步骤 4.3.1.2.2

运用分配律。

$1 - x^{2} = z \cdot z + z (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

解题步骤 4.3.1.2.3

运用分配律。

$1 - x^{2} = z \cdot z + z (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

解题步骤 4.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.3.1.1

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$1 - x^{2} = z^{2} + z (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

解题步骤 4.3.1.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

解题步骤 4.3.1.3.1.3

乘以 $- \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ 。

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解题步骤 4.3.1.3.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + 1 \sqrt{(y + 1) (y - 1)} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 4.3.1.3.1.3.2

将 $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ 乘以 $1$ 。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + \sqrt{(y + 1) (y - 1)} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 4.3.1.3.1.3.3

对 $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 4.3.1.3.1.3.4

对 $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1} {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1}$

解题步骤 4.3.1.3.1.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1 + 1}$

解题步骤 4.3.1.3.1.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{2}$

解题步骤 4.3.1.3.1.4

将 ${\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{2}$ 重写为 $(y + 1) (y - 1)$ 。

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解题步骤 4.3.1.3.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ 重写成 ${((y + 1) (y - 1))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {({((y + 1) (y - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 4.3.1.3.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 4.3.1.3.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 4.3.1.3.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.3.1.4.4.1

约去公因数。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 4.3.1.3.1.4.4.2

重写表达式。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{1}$

解题步骤 4.3.1.3.1.4.5

化简。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + (y + 1) (y - 1)$

解题步骤 4.3.1.3.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(y + 1) (y - 1)$ 。

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解题步骤 4.3.1.3.1.5.1

运用分配律。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y (y - 1) + 1 (y - 1)$

解题步骤 4.3.1.3.1.5.2

运用分配律。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)$

解题步骤 4.3.1.3.1.5.3

运用分配律。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.3.1.3.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1.3.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.3.1.6.1.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.3.1.3.1.6.1.2

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.3.1.3.1.6.1.3

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.3.1.3.1.6.1.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.3.1.3.1.6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - y + y - 1$

解题步骤 4.3.1.3.1.6.2

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} + 0 - 1$

解题步骤 4.3.1.3.1.6.3

将 $y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - 1$

解题步骤 4.3.1.3.2

重新排序 $- \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z$ 的因式。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 1$

解题步骤 4.3.1.3.3

从 $- z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ 中减去 $z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ 。

$1 - x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 1$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 1 - 1$

解题步骤 5.1.2

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 2$

解题步骤 5.2

将 $- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1.1

移动 $\frac{z^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$x^{2} = - 1 \cdot z^{2} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.2.3.1.2

将 $- 1 \cdot z^{2}$ 重写为 $- z^{2}$ 。

$x^{2} = - z^{2} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.2.3.1.3

移动 $\frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1}$ 中分母的负号。

$x^{2} = - z^{2} - 1 \cdot (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.2.3.1.4

将 $- 1 \cdot (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ 重写为 $- (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ 。

$x^{2} = - z^{2} - (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.2.3.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} = - z^{2} + 2 (z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.2.3.1.6

移动 $\frac{y^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$x^{2} = - z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - 1 \cdot y^{2} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.2.3.1.7

将 $- 1 \cdot y^{2}$ 重写为 $- y^{2}$ 。

$x^{2} = - z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.2.3.1.8

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = - z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2$

解题步骤 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

解题步骤 5.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

解题步骤 5.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

解题步骤 5.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

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