有限数学示例

$4 y^{2} + x^{2} = 144$

解题步骤 1

求椭圆的标准形式。

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解题步骤 1.1

将每一项除以 $144$ 以使方程右边等于一。

$\frac{4 y^{2}}{144} + \frac{x^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

解题步骤 1.2

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{y^{2}}{36} + \frac{x^{2}}{144} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 12$

$b = 6$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(12)}^{2} - {(6)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{144 - {(6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{144 - 1 \cdot 36}$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$\sqrt{144 - 36}$

解题步骤 5.3.4

从 $144$ 中减去 $36$ 。

$\sqrt{108}$

解题步骤 5.3.5

将 $108$ 重写为 $6^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.3.5.1

从 $108$ 中分解出因数 $36$ 。

$\sqrt{36 (3)}$

解题步骤 5.3.5.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\sqrt{6^{2} \cdot 3}$

解题步骤 5.3.6

从根式下提出各项。

$6 \sqrt{3}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 + 12, 0)$

解题步骤 6.3

化简。

$(12, 0)$

解题步骤 6.4

椭圆的第二个顶点可通过让 $h$ 减去 $a$ 求出。

$(h - a, k)$

解题步骤 6.5

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 - (12), 0)$

解题步骤 6.6

化简。

$(- 12, 0)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(12, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 12, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(12, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 12, 0)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 + 6 \sqrt{3}, 0)$

解题步骤 7.3

化简。

$(6 \sqrt{3}, 0)$

解题步骤 7.4

椭圆的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.5

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 - (6 \sqrt{3}), 0)$

解题步骤 7.6

化简。

$(- 6 \sqrt{3}, 0)$

解题步骤 7.7

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(6 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 6 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(6 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 6 \sqrt{3}, 0)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} - {(6)}^{2}}}{12}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{144 - 6^{2}}}{12}$

解题步骤 8.3.1.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{144 - 1 \cdot 36}}{12}$

解题步骤 8.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$\frac{\sqrt{144 - 36}}{12}$

解题步骤 8.3.1.4

从 $144$ 中减去 $36$ 。

$\frac{\sqrt{108}}{12}$

解题步骤 8.3.1.5

将 $108$ 重写为 $6^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 8.3.1.5.1

从 $108$ 中分解出因数 $36$ 。

$\frac{\sqrt{36 (3)}}{12}$

解题步骤 8.3.1.5.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6^{2} \cdot 3}}{12}$

解题步骤 8.3.1.6

从根式下提出各项。

$\frac{6 \sqrt{3}}{12}$

解题步骤 8.3.2

约去 $6$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从 $6 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (\sqrt{3})}{12}$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 \sqrt{3}}{6 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{6 \sqrt{3}}{6 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(12, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 12, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(6 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 6 \sqrt{3}, 0)$

离心率： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10

有限数学 示例

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