有限数学示例

x - 2 y + 3 z = - 1

$x - 2 y + 3 z = - 1$ ,

$- 2 x + y - z = 2$ ,

$3 x - 3 y + 2 z = - 1$

解题步骤 1

以矩阵形式表示方程组。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$

解题步骤 2

Find the determinant of the coefficient matrix

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array}]$ .

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解题步骤 2.1

Write

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.2.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.2.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.3

计算

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.3.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 (1 \cdot 2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$1 (2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.2

乘以

$- (- 3 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

将

$- 3$ 乘以

$- 1$ 。

$1 (2 - 1 \cdot 3) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$3$ 。

$1 (2 - 3) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.2

从

$2$ 中减去

$3$ 。

$1 \cdot - 1 + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.4

计算

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot - 1 + 2 (- 2 \cdot 2 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将

$- 2$ 乘以

$2$ 。

$1 \cdot - 1 + 2 (- 4 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.1.2

将

$- 3$ 乘以

$- 1$ 。

$1 \cdot - 1 + 2 (- 4 + 3) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.2

将

$- 4$ 和

$3$ 相加。

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.5

计算

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.5.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 (- 2 \cdot - 3 - 3 \cdot 1)$

解题步骤 2.5.2

化简行列式。

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解题步骤 2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.1.1

将

$- 2$ 乘以

$- 3$ 。

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 (6 - 3 \cdot 1)$

解题步骤 2.5.2.1.2

将

$- 3$ 乘以

$1$ 。

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 (6 - 3)$

解题步骤 2.5.2.2

从

$6$ 中减去

$3$ 。

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3$

解题步骤 2.6

化简行列式。

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解题步骤 2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.1.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$- 1 + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3$

解题步骤 2.6.1.2

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

$- 1 - 2 + 3 \cdot 3$

解题步骤 2.6.1.3

将

$3$ 乘以

$3$ 。

$- 1 - 2 + 9$

解题步骤 2.6.2

从

$- 1$ 中减去

$2$ 。

$- 3 + 9$

解题步骤 2.6.3

将

$- 3$ 和

$9$ 相加。

$6$

$D = 6$

解题步骤 3

Since the determinant is not

$0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

解题步骤 4

Find the value of

$x$ by Cramer's Rule, which states that

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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解题步骤 4.1

Replace column

$1$ of the coefficient matrix that corresponds to the

$x$ -coefficients of the system with

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & - 2 & 3 \\ 2 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 3 & 2 \end{array} |$

解题步骤 4.2

Find the determinant.

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解题步骤 4.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

解题步骤 4.2.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

解题步骤 4.2.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

解题步骤 4.2.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 4.2.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 4.2.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.1.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.2

计算

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 (1 \cdot 2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$- 1 (2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

乘以

$- (- 3 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 4.2.2.2.1.2.1

将

$- 3$ 乘以

$- 1$ 。

$- 1 (2 - 1 \cdot 3) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.2.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$3$ 。

$- 1 (2 - 3) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.2.2.2

从

$2$ 中减去

$3$ 。

$- 1 \cdot - 1 + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.3

计算

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 \cdot - 1 + 2 (2 \cdot 2 - - - 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.2.1.1

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$- 1 \cdot - 1 + 2 (4 - - - 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.3.2.1.2

乘以

$- - - 1$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1.2.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$- 1 \cdot - 1 + 2 (4 - 1 \cdot 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.3.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$- 1 \cdot - 1 + 2 (4 - 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.3.2.2

从

$4$ 中减去

$1$ 。

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.4

计算

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (2 \cdot - 3 - (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 4.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.4.2.1.1

将

$2$ 乘以

$- 3$ 。

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (- 6 - (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 4.2.4.2.1.2

乘以

$- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 4.2.4.2.1.2.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (- 6 - - 1)$

解题步骤 4.2.4.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (- 6 + 1)$

解题步骤 4.2.4.2.2

将

$- 6$ 和

$1$ 相加。

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot - 5$

解题步骤 4.2.5

化简行列式。

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解题步骤 4.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.5.1.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot - 5$

解题步骤 4.2.5.1.2

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$1 + 6 + 3 \cdot - 5$

解题步骤 4.2.5.1.3

将

$3$ 乘以

$- 5$ 。

$1 + 6 - 15$

解题步骤 4.2.5.2

将

$1$ 和

$6$ 相加。

$7 - 15$

解题步骤 4.2.5.3

从

$7$ 中减去

$15$ 。

$- 8$

$D_{x} = - 8$

解题步骤 4.3

Use the formula to solve for

$x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

解题步骤 4.4

Substitute

$6$ for

$D$ and

$- 8$ for

$D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 8}{6}$

解题步骤 4.5

约去

$- 8$ 和

$6$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

从

$- 8$ 中分解出因数

$2$ 。

$x = \frac{2 (- 4)}{6}$

解题步骤 4.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.5.2.1

从

$6$ 中分解出因数

$2$ 。

$x = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.5.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.5.2.3

重写表达式。

$x = \frac{- 4}{3}$

解题步骤 4.6

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{4}{3}$

解题步骤 5

Find the value of

$y$ by Cramer's Rule, which states that

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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解题步骤 5.1

Replace column

$2$ of the coefficient matrix that corresponds to the

$y$ -coefficients of the system with

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 & 3 \\ - 2 & 2 & - 1 \\ 3 & - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.2

Find the determinant.

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解题步骤 5.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.2.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2

计算

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 (2 \cdot 2 - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$1 (4 - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

乘以

$- - - 1$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.1.2.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$1 (4 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$1 (4 - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.2.2

从

$4$ 中减去

$1$ 。

$1 \cdot 3 + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.3

计算

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 3 + 1 (- 2 \cdot 2 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.2.1.1

将

$- 2$ 乘以

$2$ 。

$1 \cdot 3 + 1 (- 4 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.3.2.1.2

将

$- 3$ 乘以

$- 1$ 。

$1 \cdot 3 + 1 (- 4 + 3) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.3.2.2

将

$- 4$ 和

$3$ 相加。

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.4

计算

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 (- 2 \cdot - 1 - 3 \cdot 2)$

解题步骤 5.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.2.1.1

将

$- 2$ 乘以

$- 1$ 。

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 (2 - 3 \cdot 2)$

解题步骤 5.2.4.2.1.2

将

$- 3$ 乘以

$2$ 。

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 (2 - 6)$

解题步骤 5.2.4.2.2

从

$2$ 中减去

$6$ 。

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 \cdot - 4$

解题步骤 5.2.5

化简行列式。

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解题步骤 5.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.5.1.1

将

$3$ 乘以

$1$ 。

$3 + 1 \cdot - 1 + 3 \cdot - 4$

解题步骤 5.2.5.1.2

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$3 - 1 + 3 \cdot - 4$

解题步骤 5.2.5.1.3

将

$3$ 乘以

$- 4$ 。

$3 - 1 - 12$

解题步骤 5.2.5.2

从

$3$ 中减去

$1$ 。

$2 - 12$

解题步骤 5.2.5.3

从

$2$ 中减去

$12$ 。

$- 10$

$D_{y} = - 10$

解题步骤 5.3

Use the formula to solve for

$y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

解题步骤 5.4

Substitute

$6$ for

$D$ and

$- 10$ for

$D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 10}{6}$

解题步骤 5.5

约去

$- 10$ 和

$6$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

从

$- 10$ 中分解出因数

$2$ 。

$y = \frac{2 (- 5)}{6}$

解题步骤 5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.2.1

从

$6$ 中分解出因数

$2$ 。

$y = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.5.2.2

约去公因数。

$y = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.5.2.3

重写表达式。

$y = \frac{- 5}{3}$

解题步骤 5.6

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{5}{3}$

解题步骤 6

Find the value of

$z$ by Cramer's Rule, which states that

$z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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解题步骤 6.1

Replace column

$3$ of the coefficient matrix that corresponds to the

$z$ -coefficients of the system with

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 \\ - 2 & 1 & 2 \\ 3 & - 3 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2

Find the determinant.

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解题步骤 6.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

解题步骤 6.2.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2

计算

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 (1 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 2)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$1 (- 1 - (- 3 \cdot 2)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

乘以

$- (- 3 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1.2.1

将

$- 3$ 乘以

$2$ 。

$1 (- 1 - - 6) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$- 6$ 。

$1 (- 1 + 6) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2.2.2

将

$- 1$ 和

$6$ 相加。

$1 \cdot 5 + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3

计算

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 5 + 2 (- 2 \cdot - 1 - 3 \cdot 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.3.2.1.1

将

$- 2$ 乘以

$- 1$ 。

$1 \cdot 5 + 2 (2 - 3 \cdot 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.2.1.2

将

$- 3$ 乘以

$2$ 。

$1 \cdot 5 + 2 (2 - 6) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.2.2

从

$2$ 中减去

$6$ 。

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4

计算

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 (- 2 \cdot - 3 - 3 \cdot 1)$

解题步骤 6.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.4.2.1.1

将

$- 2$ 乘以

$- 3$ 。

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 (6 - 3 \cdot 1)$

解题步骤 6.2.4.2.1.2

将

$- 3$ 乘以

$1$ 。

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 (6 - 3)$

解题步骤 6.2.4.2.2

从

$6$ 中减去

$3$ 。

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 \cdot 3$

解题步骤 6.2.5

化简行列式。

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解题步骤 6.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.5.1.1

将

$5$ 乘以

$1$ 。

$5 + 2 \cdot - 4 - 1 \cdot 3$

解题步骤 6.2.5.1.2

将

$2$ 乘以

$- 4$ 。

$5 - 8 - 1 \cdot 3$

解题步骤 6.2.5.1.3

将

$- 1$ 乘以

$3$ 。

$5 - 8 - 3$

解题步骤 6.2.5.2

从

$5$ 中减去

$8$ 。

$- 3 - 3$

解题步骤 6.2.5.3

从

$- 3$ 中减去

$3$ 。

$- 6$

$D_{z} = - 6$

解题步骤 6.3

Use the formula to solve for

$z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

解题步骤 6.4

Substitute

$6$ for

$D$ and

$- 6$ for

$D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{- 6}{6}$

解题步骤 6.5

用

$- 6$ 除以

$6$ 。

$z = - 1$

解题步骤 7

列出方程组的解。

$x = - \frac{4}{3}$

$y = - \frac{5}{3}$

$z = - 1$

有限数学 示例

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